教学内容：苏教版五下第96-98页例7、例8、例9以及“练一练”第2题。

教学目标：

1、使学生经历操作、观察、比较、分析和简单推理等数学活动过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题。

2、使学生进一步体会转化方法的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，发展空间观念和初步的推理能力。

3、在探究圆的面积计算公式和运用公式解决问题的过程中，培养学生的探索精神和实践能力。

教学重点：探索并掌握圆的面积公式。

教学过程：

一、创设情境，引出核心问题

师：同学们，喜欢看动画吗？老师这里有一段动画，一起看！

演示：一只拴着绳子的羊在草地上转一圈，形成一个圆。

师：如果我们用数学的眼光来看这段动画，你会联想到什么？

生1：我想到了圆，这个木桩相当于圆心，这根绳子相当于圆的半径。

生2：我想到了圆的周长和圆的面积。

师：这只羊走的路程是这个圆的周长，那什么是这个圆的面积呢？

生：就是这只羊的活动范围。

师：是呀，这只羊的活动范围，也就是这里涂色部分的大小，就是圆的面积。今天这节课我们就一起来学习圆的面积。

板书课题：认识面积

师：如果这只羊想扩大它的活动范围，你能帮它想个办法吗？

生：把绳子变长一些！（学生回答后演示）

师：比较两次形成的圆，发生了什么变化？

生：圆的半径变长了，面积变大了。

师：你们觉得圆面积的大小跟什么有关？

生：和它的半径有关！

师：是呀，圆面积和半径有关，那究竟有怎样的关系，想知道吗？（板书：圆面积和它的半径有怎样的关系？）

生（齐）：想！

【评析：通过学生喜闻乐见的动画形式，引导学生借助直观认识什么是圆的面积，自然揭示课题；通过比较两次形成的圆有什么不同，初步感知圆的面积与半径有关，进而提出本节课的核心问题“圆面积和它的半径究竟有怎样的关系”，激起学生的好奇心与求知欲。整个导入环节干净果断，清晰自然。】

二、猜想验证，探究圆面积与半径平方的关系

师：为了便于同学们研究，咱们请来一个已经学过的图形。（出示正方形）我们以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆（演示），仔细观察所画成的图形，大胆地猜测圆面积大约是正方形面积的几倍？

生：我猜是4倍少一点。

师：能说说你是怎么想的吗？

生：（指图回答）把这个圆平均分成4份，一份比正方形面积少一点，整个圆的面积比正方形面积的4倍少一点。

师：他说的有没有道理？

生（齐）：有！

师：还有不一样的想法吗？

生：我觉得是3倍多一点。

师：认为是3倍多一点的举手？

    绝大多数学生举起了手。

师：刚才我们对圆的面积范围做了一个猜测，那这个猜测是否准确呢？要验证猜的准不准，我们得知道什么？

生：要知道正方形的面积和圆的面积各是多少！

师：正方形的面积我们学过了，怎样算？

生：边长乘边长。

师：这个正方形的边长是圆的半径，那正方形的面积就是----？

生：就是半径乘半径，也就是半径的平方。

师：如果圆的半径是4厘米（出示方格和数据），那这个正方形的面积是多少平方厘米？

生：是16平方厘米。

师：正方形的面积知道了，可是圆的面积计算我们还没有学过，用什么方法可以知道这个圆的面积呢？

生（思考片刻）：可以用数方格的方法。

师：这里的一个小方格表示1平方厘米，仔细观察一下，你准备怎样数出圆的面积？

生1：先数出1/4个圆的面积，再乘4就是整个圆的面积了。

生2：数的时候可以先数整格的，再数不满整格的，不满整格的，就按半格来算

师：是呀，这是我们以前数方格的经验，大家都还记得，真好！老师发现这里有几个不满整格的（全部加亮显示），但又特别接近整格了，你们觉得这几格按半格算还是按整格算比较好？

生（齐）：整格！

师：是的，特别接近整格的可以看成整格。

师：我们一起来数一数、算一算！ 

 师生合作，数出1/4个圆的面积是13平方厘米，算出整个圆的面积是52平方厘米。

师：用计算器算一算，圆的面积是正方形面积的几倍，精确到十分位是多少？

生：圆的面积是正方形面积的3.3倍。

根据学生回答依次出示下面表格中第一行的数据。

师：我们发现这个圆的面积确实正方形面积的3倍多一点，和前面猜测的一样吗？

生：一样！

师：那是不是所有圆的面积都是这样的正方形面积的3倍多一些呢？

    学生有的认为是，有的认为不是，不能确定。

师：这里还有两个圆，你会用数一数、算一算的方法来研究吗？男生研究半径3厘米的圆，女生研究半径5厘米的圆，把你们的研究成果填写在表格中。 

学生数方格并计算圆的面积，根据学生汇报完成表格。

圆的半径	正方形的面积	圆的面积	圆面积大约是正方形面积的几倍
4	16	52	3.3
3	9	28	3.1
5	25	78	3.1

 

 

 

 

 

师：通过计算我们发现，这两个圆的面积也是正方形面积的几倍多一点？这个结论和我们开始猜测的一致吗？

生：圆面积是正方形面积的三倍多一点，和前面的猜测是一致的。

师：仔细观察表中的数据，圆的面积和它的半径有怎样的关系，你发现了吗？

生：我发现圆面积是半径平方的三倍多一点。

师：你是怎么看出来的？

生： 正方形的面积，就是半径乘半径，也就是半径的平方。圆面积是正方形面积的三倍多一点，也就是半径平方的三倍多一点。

师：你不仅会观察，而且会思考！ 前面我们猜测的圆面积大约是正方形面积的几倍，实际上猜测的是什么？

生：猜测的是圆面积大约是半径平方的几倍。

师：刚才，我们先猜一猜，再通过数一数算一算，发现大小不同的圆，圆面积都是它半径平方的3倍多一点。

【评析：《课程标准》提倡教师在教学过程中，设计适当的学习活动，引导学生通过观察、尝试、估计等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展学生合情推理能力。本环节的教学中，先让学生猜测圆面积是以半径为边长的正方形面积的几倍，再启发学生通过数方格的方法研究不同的圆得到更多的数据，通过对数据的整理、观察与比较，验证猜想。学生经历了“大胆猜想---小心求证”这一类似科学探究的过程，认识由模糊走向精确。得到的“圆面积是正方形面积的3倍多一些”这一结论为接下来观察发现圆面积与它半径之间的关系提供了有力的依据。通过启发学生“仔细观察表中的数据，圆的面积和它的半径有怎样的关系？”和引导学生思考“前面我们猜测的圆面积大约是正方形面积的几倍，实际上猜的是什么？”，打通了本课核心问题和“猜测、验证”这一系列数学活动之间的联系，让学生体会到前面的猜测、验证等学习活动，其实都是紧紧围绕着核心问题在推进的。

本环节中还有一个教学细节值得肯定:为了使数的结果更精确，减少误差，教师引导学生观察与思考“特别接近整格的按半格算还是按整格算比较好”，“按整格算”这一选择不是老师规定性地告诉学生，而是相信学生自己的判断，尊重学生自己的选择，让学生感到数学规定并不是冰冷的，而是可以亲近的，让学生感受到数学学习是一个主动的、富有个性的过程，很好地体现了新课程的教学理念。】

三、转化推导，探究圆的面积计算公式

1、明确转化思路

师：圆面积究竟是它半径平方的3倍多多少呢，想不想进一步研究？

生（响亮地）：想！

师：圆是一个新图形，研究新图形的面积，除了数方格，你还能想到什么方法吗？

生：可以把圆转化成以前学过的图形。

师：刚才他提到了什么方法？

生（齐）：转化！

师：我们一起来回顾一下呢！

电脑演示：平行四边形通过剪拼转化成长方形；

用两个完全相同的三角形（梯形）旋转、平移转化成平行四边形

师：仔细观察，你就会发现这些方法有一个共同点，都是将没有学过的图形---？

生：转化成已学过的图形。

师：那咱们今天研究的圆是否也能转化成已经学过的图形呢？

生（肯定地）：能！

电脑演示：两个同样大小的圆移一移、拼一拼。

师：那像这样用两个完全相同的圆拼一拼，行不行？

生：不行！

师：直接拼不行，那怎么办呢？

生（异口同声）：可以剪！

师：沿着什么来剪？

生：沿直径剪！

师演示将一个圆沿直径剪开，平均分成两份，拼在一起。

师：能拼成已学过的图形吗？那怎么办？

生：继续剪。

生：可以平均分成4份试试看！

教师出示同样大小被平均分成4份的圆，在黑板上演示拼的过程

生（惊喜地）：有点像平行四边形了！

师：为什么说是有点像平行四边形呢？

生：因为平行四边形上下两条边是直的，而这里拼出的图形上下两边有点弯曲。

师：怎样才能更像呢？

生：再剪，可以平均分成8份！

    出示将圆平均分成8份后拼成的图形，贴在圆4等份后拼成的图形下面。

师：和上面的图形相比有什么变化呢？

生：更像平行四边形了！

师：你们同意他的看法吗？从哪儿可以看出这个图形更像平行四边形了？

生：因为这个图形的上下两条边更直了！

师：那还能更像吗？

生（自信地）：能！剪成16份！

师：大家想不想按这样的思路自己动手试一试？一起看操作要求：

出示：1、拼一拼：从信封中取出被平均分成16份的圆，同桌两人合作，动手拼一拼。

      2、想一想：和前两次拼成的图形相比，又有什么变化，为什么会有这样的变化？

       学生动手操作，选一份拼好的图形贴到黑板上，观察并交流想法。

生：真的更像平行四边形了！

生：因为平均分的份数更多了，分成的扇形越来越小，圆心角对应的那一小段就越来越直，这样，拼出的图形上下两条边就更直更像平行四边形了。

师：真会思考！不仅看到了变化，还看到了变化背后的原因。

2、体会极限思想

师：想象一下，如果把圆平均分成32份、64份，拼成的图形会怎样变化？

生（兴奋的）：肯定更像平行四边形！

师：想看一看吗？我们请电脑老师来演示一下！

电脑演示把一个圆平均分成32份、64份，再拼合的过程。

师：有什么发现？

生1：比前面的更像平行四边形了。

生2：我觉得拼出的图形不仅越来越像平行四边形，而且还有点像长方形了！

师：你们有这样的感觉吗？

生（齐）：有！

师：我们把份数分得再多一点看看，好不好？

学生兴奋地表达：128份、160份、300份…

师：这样，我们就选160份，请电脑帮我们分一分，拼一拼，大家看仔细了！

电脑演示把圆平均分成160份后拼合的过程。

生（一片惊叹）：变成长方形了！

师：想象一下，如果分的份数无限多，最后拼成的会是什么图形呢？

生： 就变成一个长方形！

师：一步一步，我们把圆转化成了学过的长方形。

板书：圆  →   长方形

3、推导面积公式

师：请同学们看图想一想，拼成的长方形与原来的圆有什么关系？

    小组讨论，全班交流。

生：长方形的面积与圆的面积相等。

师：在转化的过程中，图形的形状虽然变了，但什么没变？

生：面积没变！

生：长方形的宽是圆的半径。

生：我还发现长方形的长是圆周长的一半。

根据学生回答随机出现小卡通的话，电脑闪烁对应部分。

师：我们再一起来梳理一下它们之间的关系，把圆转化成长方形，长方形的面积等于---圆的面积，长方形的长相当于----圆周长的一半，长方形的宽相当于---圆的半径。（边说边板书）

师：长方形的面积等于长乘宽，圆的面积可以怎样计算，现在你知道了吗？

生：圆的面积等于圆周长的一半乘半径。

师：完全正确。通过转化，我们知道了圆面积的计算方法。

师：如果半径用字母r表示，长方形的长用字母怎样表示呢？

生：圆周长是2πr，长方形的长是圆周长的一半，就是πr。

师：如果用s表示圆的面积，那圆面积的计算公式可以怎样表示？

生：S =  πr × r =πr²

师：这就是圆面积的计算公式，一起读一遍！

师：我们来看一下这个公式，π指的是什么？

生：圆周率！

师：从圆面积的计算公式可以看出，圆面积是它半径平方的几倍？

生：圆面积是它半径平方的π倍。

师：通过转化，我们得出圆面积是它半径平方的π倍，而前面通过数方格，我们知道圆面积是它半径平方的3倍多一点，请同学们静下心想一想，这两个结论一致吗？

生（齐）：一致！

师：3倍多一点指的就是多少倍？

生：π倍！

师：那用3倍多一点还是用π倍的描述更精准？

师：π倍比3倍多一点的描述更精准，我们对圆面积的认识也更深入了。

【评析：“究竟3倍多多少？”随着老师的追问，对核心问题的思考和探究还在继续。面对新的探究任务，要寻找新的探究方法。通过回顾已经学过的平面图形的研究方法，唤醒学生已有的知识经验，启发学生依据知识间的内在联系确定探究圆面积的另一种方法---转化。学生已经具有转化意识，以及进行简单转化的能力,但是,关于把圆转化成什么图形、怎样转化，是本节课最有思维价值、最具挑战性的地方，如果完全要学生独立思考、自主探索，困难会比较大，会造成教学的低效。教材的处理，是通过图示把一个圆16等分,剪开以后拼一拼,让学生看看能拼成什么图形，这样的处理，能让学生体会到圆可以转化成平行四边形，但是跳跃性很大，少了让学生摸索、尝试的过程，学生会心存疑问“怎么一下子就能想到把圆平均分成16份拼一拼呢？”。鉴于以上思考，教学中，教师充分遵循学生的认知起点，通过演示将两个圆直接拼，不能转化成已学过的图形，引发学生产生认识冲突，激起学生思维的火花，进而想到先剪再拼，由剪2份不行，到剪4份有点像，到8份、16 份越来越像，再到借助信息技术手段演示分成32份、64份，甚至160份的剪拼过程，学生通过直观的演示，通过形象思维体会到把圆平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方形，自然地渗透了极限的思想。同时，在观察的基础上，教师不断引导学生比较、思考“有什么变化？为什么越来越像了？”，使学生思维不仅仅停留在直观的形象思维的层面，而是对转化的过程有了更深刻、更接近本质的思考，培养了学生的理性思维和科学精神。

    在完成圆到长方形的转化后，引导学生仔细比较拼成的长方形和原来的圆有什么联系，并让这些联系处于学生的工作记忆状态，顺利完成推导圆面积计算公式的思维全过程。之后，教师引导学生把思考的目光再次投向了核心问题：“从圆面积的计算公式可以看出，圆面积是它半径平方的几倍？”，并沟通了转化与数方格这两种研究方法之间的联系，让学生体会到，同一个问题，不同的探究方法，得到的结论是一致的，不同的探究方法之间可以互相支持、互相印证，从而加深对知识的理解。】

四、应用公式，解决实际问题

师：下面应用我们今天所学的知识，来解决一个实际问题！

出示例9，指生读题

师：这道题和圆有关吗？你了解到哪些信息？

生1：喷灌的区域是一个圆，喷水器相当于圆心。

生2：圆的半径就是喷水的最远距离，是5米。

生3：求喷灌面积就是求圆的面积。

师：同学们理解得非常到位！这道题可以怎样列式？ 

生1：3.14×5×5

    师生共同完成计算过程并板书    

生2：3.14×5 ²        

师：这样列式也可以。含有平方的运算大家是第一次接触，你知道先算什么吗？

生：先算5的平方是25，再算3.14乘25。

    根据回答板书计算过程

师：还有不一样的列式吗？（没有学生举手）

师：老师还有一种算式介绍给大家！边说边板书：π×5 ²  

师：老师告诉大家，圆周率π也可以直接参与运算，运算的顺序和前面是一样的，要注意的是最后数一般写在字母的前面！

    师生共同完成计算过程。

师：计算圆的面积，这几种列式都是可以的。再来看一个实际问题，

出示“练一练”第2题

师：这道题和前一题相比，有什么相同之处？有什么不同之处？

生：相同的地方是它们都是求圆的面积。不同的地方是前一题告诉了我们半径，后一题告诉了我们直径。

师：你能求出它的面积吗？在练习纸上算一算！

根据回答随机显示答案，肯定做对的同学。

师：老师巡视时看到有个同学列式为3.14×16 ²  ，你们觉得对吗？为什么？

生：不对，因为圆的面积是半径的平方，16不是半径，是直径。

师：是的，圆面积是半径的平方，不是直径的平方，这个关系要弄清楚了。

【评析：在圆面积公式的应用阶段，怎样写算式和怎样运算是教学的重点。在例9的教学中，学生能想到的算式和计算顺序，由学生自己思考与表达，教师不作过多提示，对于学生想不到的算式，教师及时介入告知学生。学生的自主学习和教师准确、清晰的讲授有机结合，提高了教学活动的针对性和有效性。通过练一练第2题与例9的比较，再次突出圆面积是与半径平方有关，在实际运用中帮助学生建立清晰的认知。】

五、课堂小结，梳理拓展延伸

师：同学们，一起回顾一下，今天这节数学课我们主要研究了什么问题，在研究的过程中用到了哪些方法？你最深的体会是什么？

     学生回答略。

师：这节课，我们先是提出问题“圆面积和它的半径有怎样的关系？”，然后紧紧围绕着这个问题一步步展开探究。大家想到了数方格这种最基本的方法，也想到了转化的方法，把圆这个新图形转化成已经学过的图形，我们推导出了圆面积的计算公式。像这样，把新的知识转化成已经学过的知识，是我们解决问题时常用的方法，以后大家遇到新问题时可以试一试。今天，我们是把圆转化成了长方形，那圆还可以转化成其他平面图形，比如三角形，或者梯形来推导出它的面积公式吗？有兴趣的同学课后可以动手剪一剪、拼一拼，试一试。

【评析：教师通过富有针对性的提问，带领学生回顾在核心问题引领下的学习历程、梳理本节课的学习脉络，重点突出“转化”这一重要的思想方法。最后，教师向学生发出邀请，鼓励学生课后继续研究把圆转化成不同的图形来推导圆面积计算公式，引导学生的思维从课堂内延伸到课堂外，正如斯腾伯格所说的：“我们坚信教育的最主要的目标，是引导学生的思维。”】