课程基本信息

学科

数学

年级

九年级

学期

秋季

课题

2.1圆

教学目标

1. 激发学生学习兴趣，理解圆的有关概念，会运用点到圆心的距离与半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系，了解本章的知识结构。

2.通过类比四边形的学习，让学生初步感知运用图形的运动变化的观点探索圆的性质。

3.引导学生经历“观察、操作——探索、猜想——推理”的认识过程，学会用数学的眼光观察，用数学的思维思考，用数学的语言表达。

教学重难点

教学重点： 理解圆的有关概念，会用点到圆心的距离与半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系。
教学难点：理解圆的集合定义，对整章内容进行知识建构。

教学过程

【欣赏圆】

师：请观察上面图片，有你所熟悉的几何图形吗？

答：有平行四边形，矩形、菱形。

师：这些都是我们学习过的特殊的四边形。请回忆，在此之前我们是如何来学习和研究它们的？

答：我们先学习了它们的定义以及有关概念，然后学习了性质与判定，最后学习了它们的应用。

师：这是我们学习研究四边形的基本路径。下面这幅图呢？

（太阳从海平面升起）（视频）

答：圆形。

师：与四边形一样，圆也是生活中常见的几何图形。今天开始我们将一起来学习2.1圆。

设计意图：第1部分基于情境激活经验。先欣赏生活中的平行四边形等特殊的四边形，以此来激活学生直线型图形的学习经验，为后续通过类比四边形来探索圆的学习路径埋下伏笔。再欣赏生活中的圆，数学来源于生活，生活中处处有数学，通过生活中丰富的圆的形象，让学生初步直观感知圆，唤起对圆的记忆，再进一步将生活图形抽象为数学图形，突出了本节课的研究主题。

【认识圆】

小学里，我们已经学习过圆。

1.说一说，你对圆有哪些认识呢？

2.下面请同学们在白纸上，用圆规任意画几个圆，并思考是如何画的。

3.如果要画一个半径为3m的圆，我们手中的圆规还能画吗？又该如何来画呢？

4.我们可以把绳子抽象成数学中的线段，请再次观察圆的形成过程，并用数学的语言来描述什么是圆。

设计意图：第2部分基于问题促进思考。在认识圆这一部分，各环节通过了四个层次的活动，帮助学生用数学的眼光认识圆，首先让学生清楚小学已有的圆的初步认识，但这些认识是简单的、浅层次的。如：半径、直径、轴对称、中心对称、周长、面积等。第二、不做限制让学生任意画一个圆，引发学生思考如何画一个圆，第三、增加条件的限制使得学生运用常规工具圆规无法来解决，引导学生思考画圆的条件。第四、在用绳子画圆的过程中，引导发现问题，感受点动成圆，思考圆的形成过程，通过学生的交流，得出一条绳子可以抽象成一条线段即定长，一个端点固定即定点，另外个端点旋转一周即成圆。

【描述圆】

我们把生活中的问题，转变成了数学问题，这就是我们今天学习的圆的定义：在同一平面内，将一条线段的一个端固定，另外一个端点绕着固定端点旋转一周所形成的图形叫做圆。这是从运动的角度来研究的。我们发现这个圆是由另外一个端点运动旋转一周产生的，我们学过点动成线，所以圆是一条封闭的曲线，是一个圆周，而非圆面。我们把这个定点叫做圆心，这条线段的长度也是不变的，是定长，它是圆的半径。和平行四边形一样，圆也有它特有的几何符号：以O为圆心的圆，记作“⊙O”,读作“圆O”.

如果从静态的角度看，圆是一条封闭的曲线，也就是说圆是由无数个点组成的，这些点到圆心（定点）距离等于半径（定长），在此之前，我们已经学习过线段的垂直平分线，可以看作是到线段两端距离相等的点的集合。通过类比，我们可以得到，圆是怎样的点的集合呢？

答：圆是到定点距离等于定长的点的集合。

这也是圆的定义，这是从集合的角度来描述的。

请同学们观察最初在白纸上所画的圆，请比较画的圆有什么不同？是由哪些因素决定的？

答：圆心是定点，决定了圆的位置，半径是定长，决定圆的大小。也就是说当圆的两个要素：圆心和半径确定时，圆也随之确定了。

师：所以今天我们又学习了圆中的两个要素，圆心是定点，它确定圆的位置，半径是定长，它确定圆的大小。当圆心和半径都确定时，这个圆也就随之确定了。特殊地，圆心相同，半径不同的圆叫做同心圆，能够互相重合的两个圆叫等圆，其实，等圆的本质是半径相等，圆心位置不同。同圆或等圆的半径相等。

设计意图：在描述圆的这一部分中，通过学生直观的操作和思考的基础上，得到圆的描述定义和圆的集合定义。理解了圆的两个要素：圆心和半径，以及同心圆和等圆的概念。

例1如图，点A、B和C、D分别在以点O为圆心的两个同心圆上，且∠AOB=∠COD， ∠C与∠D相等吗？为什么？

解： ∠C与∠D相等.

∵ ∠AOB=∠COD，

∴ ∠BOC=∠AOD .

又∵OB=OA ， OC=OD(同圆的半径相等) ，

∴△ BOC≌ △ AOD.

∴∠C=∠D

设计意图：通过例1使学生初步体验圆与直线型图形的联系，巩固圆的有关知识，如“同圆或等圆的半径相等”，引导学生开始把直线型图形的有关知识与圆的有关知识结合起来加以运用。

【探究圆】

我们研究平行四边形的性质时曾做过这样一个实验，我们将平行四边形ABCD以对角线AC的中点O为旋转中心旋转180°，发现它与自身重合，说明平行四边形是中心对称图形，进而我们发现它的对边相等、对角相等、对角线互相平分。我们能否类比平行四边形的研究方式，来研究圆呢？

操作：我们把圆形纸片旋转180°，发现圆也是中心对称图形，圆绕着圆心旋转任何角度后都能与原来的图形重合，这是圆特有的性质，旋转不变性。

那么圆作为特殊的曲线型图形，又该探究它的哪些性质呢？我们从静态的角度看，圆是由无数个点组成的，在圆上任意取两个点，连接这两个点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径。圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧，可以用圆弧符号来表示。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫优弧，图中弧CAD就是优弧，小于半圆的弧叫做劣弧.，图中弧CD就是劣弧。

刚才，我们对圆进行了旋转，如果我们对折圆形纸片使点C与点D重合,会有怎样的发现呢？通过翻折，我们发现圆也是轴对称图形，根据轴对称的性质，从这幅图中，我们可以得到很多相等关系，这些我们今后还将继续去探究，我们发现，这幅图中弧被平分，像这样能够互相重合的弧叫等弧，把圆上这两点分别与圆心相连，所产生的顶点在圆心的角叫圆心角。今后我们也将继续去研究弦、弧、圆心角之间的关系。

设计意图：第3部分基于实验明理悟道。在探究圆的这一部分中，通过教师的引导，学生动手操作、观察、思考、讨论，在图形的运动变化中，初步感知了圆的性质，进一步学习了与圆有关的概念，在学生的主动参与下，逐渐明晰了本章的知识结构。

刚才我们研究的都是圆上的点，如果我们在平面上任意画一个点，则这些点与圆的位置关系有3种，分别是点在圆上，圆外和圆内。这也体现了我们数学中分类讨论的思想（也有从特殊到一般）。

活动 操作：

1.度量你所画的圆的半径；

2.在平面内任意画若干个点，度量这些点到圆心的距离；

根据实验结果，你可以得到什么结论？请与组内同学交流你的发现

如果这个点到圆心的距离记作d，圆的半径记作r，那么d和r之间有怎样的关系呢？

生：通过度量，我们发现：

如果点P在⊙O内，则d＜r；

如果点P在⊙O上，则 d＝r；       

如果点P在⊙O外，则d＞r．

我们看到的圆上圆内圆外是指这个点的位置，得到的距离是一个数量关系。反之，也成立。也就是说我们研究点与圆位置关系的时候是可以转化成点到圆心的距离这个数量关系来研究的，这也体现了我们数学中数形结合的思想。

设计意图：第4部分基于对话引发思考。以对点的研究为主线，通过追问，引发学生思考，发现并生成了点和圆的位置关系，在观察、实验、总结的过程中运用符号语言来表示点与圆不同的位置关系所对应的数量关系，在具体的问题判断中感受两者之间的相互转换关系，进一步提升了学生用数学的思维去思考的能力。

【运用圆】

1.已知⊙O的半径为5，

（1）若PO=5.5，则点P在___圆外___；

（2）若PO=4，则点P在____圆内____；

（3）若PO= ___5___，则点P在圆上.

例2. 如图，线段PQ＝4cm.

（1）画出下列图形：

到点P的距离等于2cm的点的集合．

到点Q的距离等于3cm的点的集合．

（2）在所画图中，到点P距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？在图中将他们表示出来.

（3）在所画图中，到点P距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？请将他们表示出来.

设计意图：通过练习1，帮助学生巩固通过点到圆心的距离与半径之间的数量关系来判断点与圆的位置关系。通过例2，帮助学生更加深入地理解圆的集合定义，

【感悟圆】

设计意图：最后从知识、方法、思想等方面进行课堂小结，多角度的去明晰学生对圆的认识，在学习活动中运用的思想方法，展望未来圆的学习方向，体现学生发展为本的课程理念。