圆的面积

一、复习旧知，导入新课（5分钟）

1、课件：(出示一幅圆形水墨画)。同学们，这是我们学校五年级一位同学的水墨画作品，如果要给这幅画装裱配上边框，要多长的边框? 就是要求什么？（圆的周长）如果要给它配上玻璃，玻璃要多大呢？就要知道它的什么？（面积）

课件请看，覆盖上的红色部分是圆的什么？（空心圆慢慢覆盖上红色）（圆的面积）

那什么是圆的面积呢？

指出：是的，圆所占平面的大小叫做圆的面积。

请大家拿出圆形纸片，用手摸一摸感受一下圆的面积。

今天这节课我们就一起来研究（板书课题：圆的面积）

 

二、数方格提出猜想。（10分钟）

1、体会圆的面积与圆的半径有关。

课件：现在老师用圆规画一个圆，能不能再画一个面积大一点的圆？只要改变什么？（圆规两脚尖的距离）也就是什么？（半径）把半径怎么变？（变大）

 那要画一个面积小一点的圆呢，只要怎么样？（把半径变小一点）

由此可见，圆面积的大小跟圆的什么有关？（半径）

有怎样的关系呢？我们一起来研究。

2、提出猜想。

课件1、这是一个正方形，

2、现在以正方形的边长为半径画一个圆，正方形的面积可以怎样表示？（板书：r²）

3、看着图形猜一猜，圆的面积大约是正方形面积的几倍？（4倍？）有4倍吗？（4 r² 少一些）你是怎样想的？课件：正方形覆盖圆,她猜得对不对？

（3倍）正好3倍吗？（比3倍多一些） (板书：猜想： 3 r²多一些）那是不是3 r²多一点呢？继续研究。

4、如果每个小方格表示1平方厘米,你能用数方格的方法算出圆的面积吗？

（课件出示例7 ）谁来大声把例题读一下？

要知道整个圆的面积，可以先数出哪一部分的面积？(四分之一个圆的面积)

你准备怎样数？（先数整格的，不满整格的都按半格算）

像这种特别接近整格的也可以看成整格的数。

我们用这种方法一起来数一数：先来数整格的，并做好标记，（课件做好数的记号，1、2、3.。。。8）像右下方和左上方的这两个特别接近整格的也可以看成整格数，所以整格的有10个，再数不满整格的，不满整格的都按半格数。不满整格的有5个，就是2.5个整格，加上前面的10整格，总共就是12.5平方厘米。

四分之一个圆的面积是12.5平方厘米，那整个圆的面积怎么算？（把它乘四）

用计算器快速计算一下圆的面积，是多少？（板书：50）

再看一看圆的半径是多少？（4厘米）那正方形的面积呢？（16平方厘米）

继续用计算器算一算圆的面积是正方形面积的几倍，得数保留一位小数。

结果是多少？（3.1）

如若遇到错误回答，追问：你是怎么算的？再让正确的同学帮其纠正。

那刚才的猜想有点道理的吧？

只用一个圆，还不足以验证猜想是正确的，学习单上老师还给大家准备了两个圆， 一二两大组数这边的图形，三四两大组数这边的图形，用刚才的方法把所得数据填入表格中。比一比，哪个组做的又对又快。（课件出示图2和图3）

(实物投影展示学生学习单)数方格时有细微的误差是允许的。

咱们来看一下这几位同学的学习单，仔细观察这些同学所填的数据，你有什么发现？（圆的面积都是正方形面积的3倍多一些）

计算出也是3倍多一些的请举手。

小结：看来，圆的面积总是正方形面积也就是它半径平方的3倍多一些。（板书：猜想  3r²多一些）这个猜想是正确的。

 

三、沟通转化得出面积公式。（20分钟）

1、继续猜想

再大胆猜测，这个“3倍多一些”可能会是哪个数？（圆周率）到底是不是呢，咱们继续来研究。

2、回忆沟通

回想一下，上学期我们学习的平行四边形面积计算公式是怎样推导的？

是把它转化成长方形来推导的。

三角形面积计算公式呢？

转化成平行四边形来推导的。

由此可见，一种新的图形的面积计算公式，我们一般可以怎样推导？（转化成会求面积的图形）

那圆的面积计算公式我们也可以怎么推导呢？（转化成会求面积的图形）

想一想，我们已经会求哪些图形的面积了?我们可以把圆转化哪些平面图形呢？（板书：平行四边形、长方形、三角形、梯形）

3、探索如何转化

（1）课件出示圆，看着圆想一想，要把它转化成我们已经学过的图形，肯定先要把这个圆怎么样？（要剪开、再组合）

沿着什么剪？（半径）

为什么要沿着半径剪？（因为圆的面积与半径有关、因为圆里无数条半径都相等，所以沿着半径可以平均分）

是呀，因为圆面积的大小与半径有关。

课件出示：一个圆，平均分成16份，打开散落的16小份：这就是沿着半径平均分成了16份的圆，你的信封中也有，仔细观察：每一份是什么图形？（扇形、近似的三角形）

为什么说它是一个近似的等腰三角形？

你想把圆转化成什么图形，就把这16个近似的三角形拼成你想要的图形，操作

前先请看清操作要求，谁来大声读一读操作要求？

操作要求:

想一想：我想把圆转化成什么图形？

拼一拼：把16份小扇形拼出我想要的图形。

看一看：拼成的图形和原来圆有什么关系？

明白要求了吗？开始操作。

教师巡视，指导，并找到不同拼法。

（2）学生拼图。

我们来看这位同学的拼法，他把圆拼成了一个（平行四边形）和他拼法一样的同

学请举手？

再看这位同学的，他是拼成了一个（三角形）。

这位同学呢，拼成了？（梯形）还有不同的拼法吗？

刚才我们拼出了三种不同的图形，那怎样根据这些图形来推导出圆面积的计算公

式呢？咱们先来研究拼成平行四边形的情况。

（3）这是把圆平均分成16份后拼成了一个近似的（平行四边形）（课件出示）

再来看把圆平均分成32份后拼成的图形。

这是把圆平均分成64份后拼成的图形。

（课件出示三个平行四边形）

仔细观察，思考：把圆平均分成16份、32份、64份后拼成的图形发生了什么变

化？（边越来越平、越来越接近长方形、）

同样的拼法，为什么会有这样的变化？（因为平均分的份数多了，每一份就变直

了；图形就更接近长方形了）多叫几个人说

是呀，因为平均分的份数多了，所以每一份就变小了，每份的边就变得更直了，

所拼图形的上下两边就越来越平直，左右两边就越来越竖直，图形便也越来越接

近什么图形了？（长方形）。

那如果继续把圆平均分成128份、256份呢？（更接近长方形）

想象一下：当把一个圆平均分成无数份时，这时拼成的就是一个什么图形？（长方形）

是呀，这样我们就用“化曲为直”的方法把圆转化成了长方形。

4、推导公式

长方形的面积怎样计算呢？板书：长方形的面积=长×宽

结合长方形面积的计算公式，再观察这两幅图，想一想拼成的长方形与原来的圆有什么关系？

先独立思考，四人小组交流一下你的想法。

谁来说一说你的发现？

（1）面积相等板书：圆的面积

转化时16块小扇形有没有多拿一块？有没有遗漏一块？所以两个图形的面积（相等）。

还有没有其他的发现？

（2）长方形的宽就是圆的半径板书：r（我们来看一看，师指着宽，再指半径：对不对？）

还有吗？

（3）长方形的长就是圆周长的一半，（是不是这样呢？我们再来回放一遍刚才转化的过程。师指着圆周长的一半）看，这是圆周长的一半，剪开、展开、化曲为直拼成长方形，圆周长的一半就变成了长方形的长？

（课件回到两幅图）如果圆的半径是r，长方形的长怎么表示呢？板书：πr 

宽呢? （r）

那这个长方形的面积可以怎么算？

其实这个长方形的面积就等于圆的面积，所以圆的面积就可以用  πr×r来计算，  πr×r还可以表示为？πr²  

  圆的面积=πr×r=πr² 

 此刻，让我们停下脚步，回顾一下，刚才圆面积的计算公式是怎样推导出来的？

如果用S表示面积，上面的公式还可以表示为？S=πr×r=πr²

5、探究其他公式。

（1）刚才我们把圆转化成长方形，得出了圆面积计算公式，那如果把圆转化成其他图形，是不是也能推导出这个计算公式呢？

咱们再来研究转化成梯形的情况。

电脑演示：左边是圆，右边是拼成的梯形。

梯形的面积怎么算？板书：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2

仔细观察转化前后的两个图形，思考下面的两个问题：（默读题目）

a、 拼成梯形的上下底之和相当于圆的什么？（圆周长的），梯形的高又相当于圆的什么？（2条半径）。

b、 根据梯形的面积计算方法怎样计算圆的面积？

谁来交流一下？

我们来看一下，上底是几块小扇形，下底是几块小扇形，上下底之和就是几块小扇形，总共几块小扇形，那8块小扇形的弧长就相当于整个圆周长的（一半），圆的半径是r的话，圆周长的一半可以怎么表示？（πr），梯形的高呢（一条直径）也就是（2条半径）用字母表示（2r），那这个梯形面积怎么求呢？πr×2r÷2

梯形面积也就是谁的面积？（圆的面积），所以圆面积就可以用

板书：圆的面积=πr×r=πr²来计算

 (2)还想研究拼成三角形的情况吗？三角形面积计算公式是？

板书：三角形的面积=底×高÷2

你能仿照前两题的研究方法，也来研究转化成三角形的情况吗？

你想提出什么问题？（三角形的底相当于圆的什么？高相当于圆的什么？圆面积怎么计算？）

这几个问题提得好，赶快想一下，有答案后我们一起来交流。

三角形的底有4块小扇形，就相当于是整个圆周长的（），如果圆周长用C来表示，三角形的底就可以怎么表示为？（C），三角形的高呢？（2条直径）也就是(4条半径)就是（4r），那这个三角形的面积也就是圆的面积可以怎么计算呢？（C×4r÷2）能说一说计算的结果吗？

圆的面积=C÷4×4r÷2=πr²

6、小结

同学们，这节课我们把圆转化成长方形、三角形、梯形等不同的图形，都殊途同归地推导出了圆面积的计算公式，从而验证了前面这种猜测是正确的。数学是不是挺神奇的呀，其实啊，猜想、验证、转化都是一些非常好的科学研究方法，今后我们在学习中还要经常运用这些方法来帮助我们探究新的知识。

四、全课总结

这节课，你有什么收获？哪些地方给你留下了深刻的影响？

五、用不同方法也推导出了圆面积计算公式的。

其实呀，不用拼成其他图形，就用其中的1个小扇形，把它看成一个近似的三角形，也可以推导出圆面积的计算方法，有没有兴趣继续探究？

圆的面积=C÷16×r÷2×16=πr²