面积的变化

一、教学目标

1.使学生在探究规律的过程中，自主探究出图形放大后和放大前对应边长的比与面积比之间的关系。

2.使学生经历量一量、估一估、算一算等活动，积累数学活动经验，培养观察、比较、综合和归纳推理等能力。

3.使学生在探究面积变化规律的过程中，获得成功的体验，体会数学规律的奇妙，提高数学学习的兴趣，增强好数学的信心。

二、教学重难点

图形放大后和放大前对应边长的比与面积比之间的关系。

三、教学过程

（一）忆旧引新，揭示课题

谈话：同学们，前面我们已经学习了比和比例，并能按指定的比将一个简单的平面图形放大或缩小。那谁能说一说，你对图形放大的理解？

学生回答：放大前后的图形，大小变了，形状不变。图形的每条边是按一定的比变化的。

提问：把某一图形按n﹕1的比放大后，每条边的长都是原来的多少倍？   

揭示课题：把一个平面图形按一定的比放大后，形状不变，大小变了，大小变化有没有规律呢？这节课我们一起来研究把一个平面图形按一定的比放大后面积的变化规律。（板书：面积的变化）

在教材上量一量、算一算，并填在括号里，想一想是按照怎样的比放大的。

学生动手测量、计算。

交流测量结果和得出的比：

小长方形长3cm、宽1cm，大长方形长9cm、宽3cm。大长方形与小长方形长的比是3:1，宽的比也是3:1。说明这个长方形是小长方形按照3:1的比放大的。

 看一看，猜一猜：大长方形与小长方形面积的比还是3:1吗？那会是几比几呢？

 学生可能出现各种不同的答案。

验一验：究竟是多少呢？你有办法来验证你的猜测吗？先思考，再在小组里交流。

学生可能出现的方法：

①估一估：目测、凭直觉。

②量一量、算一算：分别算出大小长方形的面积再比较。

③画一画：直接在大长方形中画出来。

    交流、评价：第一种方法速度快，但不准确；第二种方法具有一般性；第三种方法更直观。

    明确：放大后的长方形和原来比，对应边长度的比是3:1，可是面积的比却不一样，变成了9:1。

引导比较：比较两个长方形对应边长度的比和面积的比，看看能有什么发现。和同桌说一说。

联想：如果大长方形是小长方形按2:1的比放大后得到的图形，它们对应边长的比是多少？面积比是多少？如果是4:1、5:1呢？

先独立思考，再说一说你是怎样想的。

    启发：那其他平面图形按比例放大后，面积的比又会怎样变化呢？这其中是不是隐含着什么规律呢？

（二）小组合作，再次探究

    1.举例探索，感悟发现。

    提问：我们提出了面积变化的问题，就需要举例来进行研究。你还准备研究哪些图形放大后和放大前对应边长的比与面积的比呢？

出示教材第48页正方形、三角形和圆按比例放大的图形。

引导：这三个图形分别是按几比几放大的？放大后与放大前图形面积的比各是多少？需要测量哪些数据？

明确：分别测量正方形的边长、三角形的底和高、圆的半径，并写出相应的比，再进行计算和比较。

学生动手测量，计算，并把教材第49页的表格填写完整。

观察：这几个图形放大后与放大前的面积相比发生了怎样的变化？面积比与长度比有规律吗？请同学们再仔细观察表中的数据，先独立思考，然后在小组里说说自己的发现。

集体交流，比较、发现：两个比的后项都是1，面积比是长度比的平方。

提问：如果一个图形放大后与放大前长度的比是4:1，它们面积的比会是几比几？如果长度的比是5:1呢？

引导抽象：如果把一个图形按n:1放大，放大后与放大前图形的面积比是多少呢？

交流后小结：把一个图形按照n:1放大，放大后与放大前图形的面积比是n²:1。（板书：边长n:1     面积n²:1 ）

2.验证规律，形成认识。

质疑：这样的规律是不是在所有的平面图形中都具有呢？

谈话：我们再找不同的图形来比一比。请你在教材第112页的方格纸上画一个平行四边形或梯形，自己确定一个比把它按比例放大，算一算放大后与放大前图形的面积比，看看是不是符合上面的规律。

学生画图，计算。教师巡视，对图象放大有困难的给予适当指导。

学生交流、比较面积比和对应边长度比之间的关系。

交流后小结：放大后与放大前图形对应边长的比是n:1，面积比就是n²:1，这就是我们今天发现的面积变化规律。

3.追问成因，深化认识。

    追问：按比例放大后，为什么图形的面积又会这样的变化呢？你能结合上面发现长方形面积变化特点的这幅图来说明吗？同桌互相讨论一下。

引导学生交流想法：长方形按3:1放大后，长和宽都是原来的3倍，长和宽在长方形面积计算中相当于两个乘数，两个乘数分别扩大3倍，积随之扩大9倍，所以面积的比是按9:1变化的。

（三）回顾反思，拓展延伸

引导回顾：请同学们回顾一下，刚才我们是通过哪些活动发现规律的？发现了什么规律？

学生小组讨论，全班交流。

提问：回顾探索规律的过程，你还有什么收获和经验想与大家分享吗？

追问：你还能想到些什么？

拓展：今天我们研究的是平面图形，如果是立体图形，对应边的比与体积的比是不是也有规律呢？规律是怎样的呢？你觉得可以怎样研究呢？

小结：今天我们探索了面积变化的规律，知道平面图形按几比1放大，也就是边长比是n:1，那么面积的比是n²：1。同时了解到，探索规律可以通过收集具体例子的数据，认真观察、比较，找到共同点，归纳出其中蕴藏的规律，这也是学习数学的重要方法。同学们在课后可以用举例子、找数据、对照比较去研究提出的其他问题，可能会有惊喜的发现。