在学习数学过程中,学生对学习对象的理解可能会使用不同的表征方式来表述,对学习认知的理解,也可能从不同的角度、用不同的方式来充实对学习对象的认知,这就是一种数学多元表征的"新型学习方式"。在概念学习上对多元表征的使用尤其重要,美国学者莱许等人认为,在数学的知识认知发展过程中,实物的操作是丰富数学知识形成必要条件,而其他的表征方式,如图案、言语描述、符号规律、创设导入等,同样也是知识认知成长的必要途径。郑毓信教授也认为:对于数学课堂中的多元表征学习,我们不应该只强调表征的单一性,而应该重视各个表征之间的融合,促使学生适应在不同表征形式之间进行自如地转换。

个人认为,数学学习的过程不仅有内隐的心理层面的认知操作,也包含外显的可视、可听、可感的数学化表达,后阶段会以数学多元化状态表征的形式展露出来。目前数学多元表征学习得到了业内外人士的诸多关注,甚至成为了数学教育心理学国际研讨组(PME)的研究主题。在教育教学中,数学多元表征优化演练操作能高效地使学生在建构数学中体验学习。在教学中,教师对学生在课堂上的多元表征学习表现进行关注与重视,共促学生核心素养的提升,这是每位数学教师应该付之行动的必要操作。

一、知行合一,在生活经验中深化数学理解

目前多数学者研究的数学知行合一，一般泛指多元的外在的表征,其数学的内涵在于使用不同状态形式的表征体验来替代数学基础学习模型,使学生的思考旅程完全让人看得见、摸得着,加速数学理解走向多思考途径,促进潜在表征(也就是内心表征)的多元、灵动与深入。从内涵上分析,数学多元表征可以分为两大类:一类是言语式表征,如口头表达、符号规律等,其讲述的是在数学科学领域中关于"数"这部分内容;第二类是直观式表征,如示意图线段图、学具教具等,主要表达的是数学科学领域中关于"形"这部分内容。

在《倍的认识》一课中,课前我对三个同学身高的比较,得出不同标准不同,结果也不同,为倍的学习做了铺垫。课中通过不断增加圆形的个数让学生初步感知倍的关系跟份数有关,继而进一步探究3倍的概念来建模倍,从单位1不变倍数变,到单位1变了倍数却不变,使学生发现倍的本质。练习中,通过不断的"变-变-变"演化成抽象灵动的倍的图示,学生的思维也紧跟着往深度挖掘。整节课教学环环相扣,在不同层次的教学设计中抓住教学核心。数形结合,在操作感知中建构数学思维

事实上,在平时的教与学过程中,学生手持教具学具、用语言描述推理、与同学交流互动等外显的学习活动来实施多元表征学习,各种外在表征能牢固地支撑起学生建立在大脑中的多姿多彩的内在表征。

二、知行合一,在直观具象中概括抽象知识

数学多元表征学习有助于对学习知识建构进行深度理解。根据新/双重编码理论、多媒体学习的认知理论、数学符号表征系统理论等,新型多元表征学习不是一种简单的知识获取的过程,而是一种积极建构学情认知的过程。人脑具有对大脑有触动知识学习的第一反应,其经历的思考角度越丰富、越高级,参与展示的过程越充实,其学习表征也越接近知识生成的内涵。在优质高品的多元表征学习模拟情境中,受学者需要连续地对多种多类的多频多类信息进行抽象与概括、精致与拓展、转换与转译等再认识再加工,最后总结形成对知识本身本质的内涵式理解的学习建构,从而产生对学习认知达到了一定的了解与熟悉。

在执教《乘法的初步认识》一课中,基于学生对乘法的学习不是一张白纸的学情,我立足教材,结合主题图中游乐园的情景图,以小飞机作为典型例题开门见山地展开,呈现相同加数连加和乘法两种方法。通过图片、加法算式以及乘法算式之间的比较与联系,从直观到抽象,解决小飞机中的数学问题,进而让学生学会举一反三。大环节上,整节课通过任务驱动的方式促进学生的学习,环节紧凑,层层递进,让人耳目一新。

纵观整个学习过程，关于知行合一的各级各类形式集中体现了学生之间的区别,还有向领学者告知自己学习体验中的思考维度层次,例如平时喜欢多姿多彩的图像音像表征的学生可能对语言化表征陌生甚至排斥,反之亦然。我们教师在学生学习操作体验中供给或传递多式多样的表征,为了能辅导提示不同阶段不同类型的学生尽可能要展示自己的长处表征方式,同时也在沟通操作中去查漏补缺,这就包含了"数学学习与知行合一相互融合生成"的双重标准。

三、知行合一,在方法迁移中锤炼思维

在学生运用已有的认知理解"整数除以分数"的算理、积极推导出计算方法后,在后阶段的学习中是不仅需要复习算法,巩固算理,更要从不同的角度深化对算法算理的理解和掌握。这样,在后续学习"分数除以分数"的过程中,学生才能够把已有的学习认知经验进行主动迁移从而运用到解决实际问题中。

在《正比例和反比例》一课中,随着表征方式的不断变化,"正比例"概念在学生脑中不断形成。通过具体情境,表征两个量之间的变化情况;通过图表(数量)表征,让学生对两个量之间的关系有了感性的认识;通过符号、言语表征,实现"正比例"概念的构建;再通过情境表征,对"正比例"概念进行内化、提升。通过多元表征学习,从具体到抽象,逐层建构学生对"正比例"的概念和意义的认知建构。

数学是一门"数形融合"的学科,数与形的有机融合,可以将抽象的空洞知识与生动的图案花纹连接起来,使学生双脑融合, 知行合一，这对发展形象思维也有着深度挖掘的作用。愿孩子们在"双减"政策的沐浴下,在数的海洋中吟唱,在形的天空中飞舞,数与形的一次次碰撞,带来一次次质的飞跃!