问题层层递进  探究步步深入                                             

——“圆的周长”教学实录与评析

【教学内容】苏教版《义务教育教科书•数学》五年级下册第92—93页例4、例5，以及相应的“试一试”、“练一练”，练习十四第1—4题。

【教学目标】

    1、使学生联系已有经验理解圆的周长的含义，通过操作体会圆的周长与直径之间的关系，知道圆周率是一个定值，理解和掌握圆的周长计算公式，能利用公式解决一些简单实际问题。

2、使学生经历探索圆周率、圆的周长计算方法的过程，培养观察、操作、比较、分析、抽象、概括等能力，积累通过测量探索图形关系的经验，感受转化、逼近、化曲为直等数学思想和方法，发展几何直观和空间观念。

3、使学生在探索和理解圆周率的过程中感受数学的美与魅力，体会中外数学家研究圆周率的艰辛与坚持，感受他们对真理锲而不舍的追求精神和严谨的科学态度。

【教学重点】经历探索和发现圆周率的过程，理解圆周率的含义，掌握圆的周长计算公式。

【教学难点】通过操作理解圆的周长与直径间的确定关系。

【教学过程】

    一、创设情境，提出研究问题

师：星期天，芳芳一家准备到阳羡风景区的自行车公园去郊游，这是她们一家三口选定自行车的相关信息（课件出示例4的三个车轮图），用数学的眼光看，你发现了什么？

生1：我发现自行车的车轮是圆形的。

生2：车轮是围绕车轴进行转动的。

生3：三个车轮的大小是不一样的。

生4：车轮越大，同样转动一圈应该转得越远。

师：这三个车轮同时转动一圈到底是什么样的呢？我们一起来看一下。

课件播放动画。

师：真的像刚才那名同学所说，车轮转动一圈的距离有长、有短，想一想，车轮滚动一周的距离是车轮的什么？

生：是车轮的周长。

师：哦，车轮的周长在哪呢？同学们能一起比划一下吗？

学生用手比划车轮的周长。

师：大家一起看，（课件出示周长动画）围成车轮一周曲线的长就是车轮的周长，也就是“车轮滚动一周走的距离”就是车轮的周长。

师：由车轮的周长同学们就会很自然地联想到——圆的周长，课件即时隐去车轮图，得到如下图所示的图形。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    

 

 

 

 

 

师：想一想，什么是圆的周长？

生：围成圆的一周曲线的长就是圆的周长。（课件即时演示红色的线绕曲线描一圈）

师：观察圆的周长和直径，你发现了什么？

生1：圆的周长和直径的长短有关。

生2：直径越长，圆的周长就越长。

师：正如同学们所说，圆的周长确实和直径有关。那周长和直径之间到底有怎样的关系呢？今天这节课我们就一起来研究圆的周长和直径的关系。（板书课题：圆的周长）

【评析：在学习一个新的概念前，学生头脑里一定具备与新知有关的知识储备，它是支撑新概念形成的依托。教师只有把这些与新知相关的概念结构调动起来，并与新概念建立联系，才能使概念的理解成为可能。就本课而言，圆的周长是新知识，但圆和周长都属学生已有知识经验。基于此，本环节，教者没有冗长的导入，而是联系实际问题以及学生的生活经验来揭示圆周长的意义。既突出了曲线图形周长这一特征，又有助于学生把原有的周长概念自然迁移到新的平面图形上来。之后的比较三个车轮的直径和周长，能够帮助学生直观地看到圆的周长与直径之间的关联，形成圆的周长与它的直径有关的猜想，为进一步探索圆的周长与其直径有什么关系，以及圆周长计算方法奠定基础。】

二、分析推理，确定研究范围

师：下面我们就借助学过的平面图形来作进一步的学习、比较和研究。

师：在正方形里画一个最大的圆（下图2），想一想，正方形的周长是圆直径的几倍？

师：继续观察，在圆内又画了一个最大的正六边形。

媒体演示：先画一个与前面同样大的圆，再画六条半径将圆六等分，在学生确定所画的相邻两条半径的夹角是60°后，教师将半径在圆上的六个点顺次连接起来，成为圆内接正六边形。（下图3）想一想，这个正六边形的周长又是这个圆直径的几倍？

师：把这三个图形放在一起比较（图4），请同学们猜想一下，圆的周长大约是直径的几倍？

	（图2）			（图3）

 

                        

 

                   

 

  

 

师：请同学们先独立思考这三个问题，有自己的想法后再在四人小组里作交流。（提供思考、讨论、交流时间）

师：好，接下来我们先来讨论第一个问题。

生：正方形的周长是圆直径的4倍。

师：说说你的想法。

生：因为正方形的边长与圆的直径相等，正方形有4条边，所以正方形的周长是圆的直径的4倍。

师：说得不错。那正六边形的周长又是直径的几倍？

生：正六边形的周长是圆的直径的3倍。

师：理由？

生：正六边形的六条边长实际上就是圆的六条半径，也就是三条直径，所以，正六边形的周长是圆的直径的3倍。

师：把圆的周长分别与正方形、正六边形的周长作一下比较（分两次闪烁），同学们又有什么发现？

生：圆的周长一定比正方形周长小，比正六边形周长大。

师：确实如此。现在同学们能提出一个大胆的猜想吗?

生1：圆的周长一定比直径的4倍小，比直径的3倍大。

生2：圆的周长是直径的3倍—4倍之间。

生3：圆的周长是直径的3倍多一些。

师：同学们的猜想是否成立？可以怎样验证大家提出的这个猜想呢？接下来我们继续进行研究。

【评析：波利比亚在他的《数学和猜想》中说：“只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应该让猜测、合理推理占适当的位置”。本环节，教者没有把现成的结论告诉学生，而是引导学生在观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动中发现问题、探究问题。例如，适时画出圆外切正方形和圆的内接正六边形，引导学生观察后利用学过的知识作出合理推理和判断，提出了猜想，即“周长是直径的3倍多一些”，这正是演绎推理的过程。这个过程让学生不仅体验到探究方式的多样化，感受数学知识之间的密切联系，更重要的是让学生进行了一次更为严密的逻辑和数学思维训练，而这是一切科学思维活动的基础。这样就将“猜测”与“证明”有机地结合起来，学生在观察中去思考，在思考中猜测，在操作中交流，在交流中发现，学生在亲身经历数学知识的探究与发现的过程中学习数学。这样的学习活动，学生获取的不仅仅是知识本身，更重要的是态度、思想、方法，是一种探究的品质，它可以提高学生的探究能力，积累探索学习的经验，提升数学思维的水平，促进学生创新能力的发展】

三、动手实验，体验探索过程

师：要知道圆的周长到底是它直径的几倍？同学们认为，接下来我们可以怎样研究？

生：我觉得可以找一些圆形的物品，先分别量出它的周长除以直径，看是否都是3倍多一些。

师：量直径是没有问题的，那圆的周长怎么量啊？

生：可以用绳先绕圆一周，再把绳子拉直进行测量。

师：是这样吗？一起来看。（下图5，课件动态演示过程）

				（图6） ）

 

 

 

 

 

 

师：想一想，要使这种“绕绳法”测量的数据尽量准确，应注意什么？

生：绕绳时，线要紧贴圆片。

生：绕圆一周后相交的地方要做上记号。

师：同学们想得真周到，想一想，要知道这个圆片的周长，还有什么办法?

生：可以把圆先做个记号，再放在直尺上滚动一周，再在直尺上读出刻度。

师：大家想看看这位同学介绍的方法吗？一起来看。（上图6，课件动态演示过程）

师：用这种“滚动法”测量时又要注意些什么呢？

生：要标好起点，哪里开始到那里结束，也就是要滚动一周。

生：要用直径的一端对准0刻度线。

生：滚动时要紧贴直尺。

师：刚才同学们介绍了两种不同的方法，比较下，这些不同的方法有什么共同的地方？

生：都是把弯的曲线拉直了再量，因为圆周是曲线，不能用直尺直接量。

师：是的，把曲的线转化成直的线，确实巧妙、方便，这样的方法就叫做化曲为直。（板书：化曲为直）

【评析：通过测量和计算研究圆的周长和直径之间的关系是本节课最重要的活动，但由于是手工操作，要得到比较精确的结果其实并不容易。基于此，为了让学生的操作过程科学、合理，在学生动手操作之前，教者舍得花时间，注重了对操作注意点、操作方法的研讨与指导，如绕圆法要贴紧圆片绕圆一周，滚动法要注意用直径的一端对准刻度，滚动时不能滑行等。好方法成就好效果，学生掌握了正确的方法，对下一环节通过测量和计算研究圆的周长与直径之间的关系极为重要，既可减少和避免因操作失误引起的模糊认识，也便于学生感受结论的合理性，与之同时，不同方法之间的异中求同的比较，还突出了“化曲为直”这一本质上的共同点，渗透了转化的思想方法。】

师：那圆的周长到底是直径的几倍呢？接下来我们一起研究，老师已经为各小组准备了操作材料。（标上1、2、3序号的直径分别是5、4、3厘米的硬纸圆片），先来看操作要求。

出示操作要求：

（1）用你喜欢的方法量一量圆形硬纸片的周长与直径，再算一算周长除以直径的商，填在各小组“探究单”的表格中。（可以使用计算器，结果保留两位小数）

（2）小组成员分工合作，谁量、谁算、谁记录，预先作好分工安排。

（3）小组讨论：观察测量和计算的结果，你有什么发现？

学生测量、计算、小组讨论，后按序号汇总各组数据，全班交流。

表一：1号圆

 

序号	1	2	3	4	5	6
周长/厘米	15.8	15.9	15.7	15.8	15.6	15.7
直径/厘米	5	4.9	5	5.1	5	5
周长÷直径	3.16	3.25	3.14	3.10	3.12	3.14

师：观察表一，你发现了什么?

生1：光盘的直径相同，周长不同，商就不同。

生2：发现直径越短，商就越大。

师：老师告诉大家，其实1号圆的直径是一样的，都是5厘米，听到这个信息，你有什么要说的?

生3：直径相等，圆的周长也应该相等呀！

生4：测量是有误差的，我们测量的硬纸圆的周长应该是个近似数。

生5：一定是误差造成的，否则商应该相同。

师：把表一和表二、表三（直径分别是4cm，3cm）放在一起比较，你又有什么发现？

生6：圆的周长除以直径的商，有三点零几，三点三几的，但大多数都是三点一几。

生7：我猜想，每个圆的周长除以直径的商可能是一样的。

生8：如果测量的误差尽可能小，我想所有的商应该都是一样的。

师：想一想，如果再多测量一些圆，测量得再精确一些，能不能避免或消除误差？

生9：应该很难，只能是减少一些误差，而不能消除误差。

【评析：本环节的操作探究活动是立足于学生知道圆的周长在3d与4d之间而展开的，这恰恰是学生思维的启发点和探究点，此时的操作探究活动既符合教学内容的客观需要，又符合小学生学习数学的心理规律。既是对此前提出的猜想进行验证的过程，也是对圆周率的内涵充分感知的过程。由于受实验工具、测量方法、操作技能等因素的影响，学生通过实验得出的计算结果往往会有一些误差，难能可贵的是，上例的教学，教者没有回避误差，而是巧妙地利用实验的误差，机智的“变错为宝”。通过比较同一种圆的不同数据，帮助学生感悟到在测量圆的周长和直径时取的都是近似值，这是“商”不一样的根本原因。有了这样的活动经验，学生通过简单的类比就可以想到其他圆形纸片实物的数据肯定也有误差。而对一系列商的特点的观察，学生便会发现“商”虽然多数都不一样，但彼此相差很少。在推测的过程中，学生全面而“理性”地思考：如果没有误差的因素，圆的周长除以直径得到的“商”应该是一样的，从而深刻的理解体验圆周率是一个常数。以上教学过程，观察、比较、计算、推理等活动有机结合，其数学思考的特征表达得淋漓尽致。有效发展了学生的数学能力，提升了学生的数学素养。】

四、由表及里，介绍探索历史

师：其实，对这个问题，古今中外的许多数学家都表现出了极大的研究兴趣，并前后经历了数千年的探索与和实验，而在精确度上取得突破的是早在1700多年前我国的一位著名数学家刘徽。大家想知道刘徽是怎样研究的吗？一起来看。

课件演示：

 

 

 

 

 

 

 

 

师：这与我们前面的研究和发现是一致的，大家猜一猜，接下来刘徽会怎样研究？

生：他可能会把正方形的边数变得更多。

师：确实如此，在圆内接正六边形把圆周六等分的基础上，刘徽再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形。再继续分割做成一个圆的内接正二十四边形、四十八边形……（flash动画演示，下图8）按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形，一直算到了正3072边形，非常接近圆的周长，并由此而得圆的周长是直径的3.1416倍。

 

 

 

 

 

 

 

 

师：不过，大家想一想，刘徽发现了这个3.1416倍，是不是还是一个近似的倍数？

生：对，因为最接近，与圆的周长也有差距，哪怕是一点点。

师：研究还在继续，到了约1500年前的南北朝时期，中国有一位伟大的数学家和天文学家祖冲之。他在刘徽的这一基础上继续努力，终于计算出圆的周长与直径的倍数在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把这个倍数的值精确到七位小数的人。他的这项伟大的成就比国外数学家得出这样的精确数值的时间，至少要早1000年。（课件出示略）

师：看到我国伟大的数学家们的研究，你有什么想说的？

生：我国的数学家真了不起，他们坚持不懈的精神值得我们学习。

师：对，他们的这种持之以恒、勇于探索的科学精神值得我们每一个人学习。

师：当然这依然是一个大约数，千百年来数学家们一直对它进行研究，现在人们借助计算器发现圆的周长总是直径的3.1415……倍，目前计算机已经计算到小数点后上亿位了呢。

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110……

课件出示：

 

 

 

 

 

 

师：大家来看这个数，与我们之前学过的数有什么不同？

生：这是个无限小数，而且不循环。

师：同学们，数学家给这个无限不循环小数起了个名字叫圆周率，他表示圆的周长与直径的倍数关系，圆周率用字母π表示。

【评析：认识圆周率是本节课的教学重点，也是教学难点。这其中，让学生经历知识产生与形成的过程非常重要。本环节，教师为了让学生深刻体会这个“三点几倍”到底是多少，重现了我国古代数学家刘徽、祖冲之对圆周率的探究过程，这不仅能让学生初步了解数学家研究圆周率的艰辛历程以及坚持不懈、不畏困难的精神，更能让学生体会到我国古代数学家的智慧，感受到数学的美妙与神奇。至此，一个活生生的充满了数学魅力的圆周率被深深地刻在了学生的头脑中。】

五、总结公式，练习深化拓展

师：数学家们千方百计的研究圆周率，那么这个圆周率到底有什么用呢？

生：知道圆周率，就可以计算出圆的周长。

师：请具体说说。

生：因为周长÷直径＝圆周率，所以圆的周长＝圆周率×直径（师板书）

师：如果用C表示周长，d表示直径，圆的周长C等于什么？

生：C=πd（师板书）

师：如果知道半径r，周长C等于什么？

生：C=2πr

师：我们在计算时π取近似值，保留两位小数3.14。

师：刚才我们自己探索出了圆的周长公式，现在你能用圆的周长公式解决下面几个问题吗？（出示下列问题）

（1）一个圆形喷水池的半径是14米，它的周长是多少米？

（2）下图中一共有三个圆，你能算出每个圆的周长吗？大圆的周长与两个小圆的周长有什么关系？（图9）

（3）计算下图中涂色部分的周长？（图10）

		（图9）		（图10）

 

 

 

 

 

 

 

 

【评析：推导圆的周长公式是本节课需要完成的基本教学任务之一。上面的教学，一方面引导学生基于对圆周率的已有认识，自主探索并理解圆的周长计算公式，知道要求圆的周长，需要知道圆的直径或半径，已知圆的直径或半径就能计算圆的周长。另一方面，适时提供应用公式解决问题的机会，并注意问题本身的层次性和启发性，既巩固了圆的周长计算公式，又培养了学生灵活运用知识解决实际问题的能力。】

六、总结梳理，提炼探究方法

师：我们一起来回顾一下本节课的研究过程（配合课件进行图文展示，图略）

 

 

 

师：今天我们不但经历了一次数学探究的过程，还认识了一个神奇的数π。音乐家还用π谱成了一首钢琴曲，就让我们伴随着π谱成的曲子结束本节课的学习吧。

【评析：教师利用课件对本节课研究圆的周长的流程进行回顾。既能帮助学生进一步理清研究思路，又对学生今后继续开展相似领域的自主学习与研究，进行了方法上和思路上的引导。课末播放音乐家用“π”演奏的钢琴曲。这让学生进一步体会圆周率的特点，同时又让学生感受到了数学独特的美，可谓匠心独运，一举多得。】