“分数大小比较”的优化策略

宜兴市第二实验小学   刘淼  

五年级下册“分数的大小比较”，看似简单，却是挑战学生思维灵活性，发展创造性思维的重要内容。这部分内容之前，学生已学习了分数和小数的比较、同分母或同分子分数的大小比较、约分、通分等知识，在这些知识经验基础上，学生自主得出分数大小比较的多种方法不成问题，但这些知识经验也给灵活选择比较方法以束缚，造成思维定势，影响了比较方法的优化。教学时，我先出示例题：比较和的大小，然后放手让学生自主探究比较的方法，在一段时间的独立思考后，学生纷纷说出了自己的比较方法：

方法一：化成同分母比较。=，=，因为>，所以>。

方法二：化成同分子比较。=，=，因为>，所以>。

方法三：化成小数比较。=0.6，=0.4444……，因为0.6>0.4444……，所以>。

方法四：与中间数比较。因为>，<，所以>。

方法五：画图比较。（图略）

交流中发现，大部分同学产用了化成同分母比较的方法，即通分法，1位同学采用画图法，1位同学采用化为同分子比较，3位同学想到和中间数相比，10位同学化成小数比。从这些方法的学生分布情况看，学生由于刚学习了通分，大部分人想到通分的方法也在情理之中，10位同学化成小数比是因为小数与分数的比较前面有过专门训练，其他方法分布人数少也与方法的不常用有关。交流之后我请同学们评价这几种方法，大家一致认为通分和化成小数比较是常用的方法，而且对任何分数都行得通，而画图法太麻烦，和比有局限性，化成同分子分数比较也可以，但练得少，不熟练。在随后的练习中，有一道题：用你喜欢的方法比较每组分数的大小。竟然绝大多数人产用了通分的方法，哪怕是和的比较，还有个别同学所有的题目均化成小数再比较。虽然，全班同学都比对了这些分数的大小，但我高兴不起来，“分数的大小比较”难道只是为了比出大小吗？认可学生的“喜欢”就无视思维的低水平徘徊吗？普遍适用的方法就是“最优”的方法吗？针对学生的表现，我陷入了沉思：是什么阻断了学生“优化”的路径？

1、多样算法≠方法优化。算法多样化是新课程提出的新理念，很快被大部分老师接受，并在课堂上实践。在我的课堂上，也很好地体现了算法多样化，学生自主得出了多种比较的方法。但在教学中我却忽视了多种方法的优化，没有通过不同类型的比较使学生经历反思、改进、选择比较方法的过程，从而实现提升灵活选择最优比较方法的能力。算法优化是算法多样化策略的延伸，是发展学生思维，培养学生能力的过程。我们承认学生的差异，允许学生用自己喜欢的方法学习数学，并不意味着学生自己喜欢的方法是尽善尽美的，对一些低思维层次的算法，教师不能放任自流，对学生毫无选择地用熟悉的方法而不愿挑战自己的思维惰性，教师也不能熟视无睹。

2、一般方法≠最优方法。在通常的计算法则教学中，老师先会请学生根据已有经验用多种方法解决新问题，然后引导学生进行比较反思，得到一般的计算方法，即计算法则，而这种方法往往就是要求学生掌握的最优方法。如“小数除以小数”，学生在尝试计算7.98÷4.2时，出现了三种想法：（1）把被除数和除数同时扩大100倍，转化为整数除以整数：789÷42。（2）把除数扩大10倍，被除数不变，转化成小数除以整数：7.98÷42。（3）把被除数和除数同时扩大10倍，转化为小数除以整数：79.8÷42。最终通过交流讨论，学生一致认可第三种方法为最优方法，最后通过一些针对性练习巩固这种方法，一般方法内化为学生的最优方法。而对于分数的大小比较，学生讨论出的一般方法却并不是针对每组分数比较的最优方法，但学生却因固有经验而认为一般方法就是最优方法，因为它能解决所有分数大小比较的问题，而应试教育下的“题海战”更加剧了学生的认识，只要做得对，就是好的方法。老师在教学时往往过多强调一般方法，着重训练一般方法，并要求学生在考试时为确保正确尽量都用这种一般方法，这些做法，更使学生认为一般方法就是最优方法。这种“优化”思想阻碍了学生真正的优化。

3、思维顺畅≠思维灵活。从学生个体来讲，每个人都有思维惰性，能很容易解决的问题很少有人会去再深入思考其他方法。在对于有较好数感的人看来，同分子或同分母分数直接比较，和中间数（或1）比较等都是非常简单的方法。但这些方法对数学素养的要求却是很高。首先它要求熟练掌握以前所学的知识，并能综合运用；其次要求对分数有较好的数感，能直觉地判断与的大小，或与1接近的程度；再次，还要在各种方法中进行快速的分析比较，以确定哪种是最优的方法。所以，这些方法看似简单，但思维难度很高，要经历完整的分析、观察、比较、判断的过程。对于学生来说，通分的方法要简单得多，虽然写得较多，但拿到题目无需分析、比较，直接就能解决了，而且通分学生已经相当熟练。而看似繁琐的化小数比较，也因为思维方式的简单而成为部分同学的首选。方法单一、机械操作是学生思维顺畅的实质。而数学学习的目的不是让学生成为简单的操作工，而是思维得到提升和发展，摒弃思维惰性、追求灵活、创新才是数学学习对思维促进的体现。

基于以上认识，我找到了阻碍学生比较方法优化的原因，在教学中又该作何改进呢？

1、专项训练，培养数感。数感是指学生对数与数量等方面的感悟，既有感知的成份又有思维的成份，数感好的学生对数的大小就有一种直觉，这种直觉会自动地引导学产用优化的方法比较大小。数感的培养虽不像知识、技能的习得那样立竿见影，但却可以通过数学活动积累经验，逐步发展。而在分数大小比较时，学生之所以会倾向于通分法比较，正是因为对通分法的熟悉，因熟悉产生了较好的通分直觉。针对其他的一些比较方法产用专项训练，提升其他方法的熟练程度，从而培养学生对数的更全面的感悟。如：

下面的分数，哪个最接近0？哪个最接近1？哪个最接近？

把下面的分数填入合适的圈里。

比小的分数                  比大的分数

以上两题的训练可以提升学生对分数大致范围的判断，促使学生选用与中间数比较的方法。又如：

比较每组分数的大小：和    和    和    和

先引导学生观察这几组分数有什么特点，思考用什么方法比较更合适？因为有了观察分数特点的过程，学生就不会冒失得直接去通分比较，再通过交流、讨论，用分数的意义理解分子相同的分数也可以直接比较大小，而不必去通分比较。

2、对比反思，自主优化。优化的过程离不开学生的自主参与，只有学生经历对比、反思、梳理、选择的过程，才能真正实现方法的优化，灵活选择比较方法。如：

在○里填上“>”“<”或“=”，比比谁做得又对又快。

○        ○      ○0.6   

○         ○2.5      ○

在学生独立完成后，不仅要校对大小比较是否正确，更要请学生针对不同的题比较不同方法的优劣。其中第2题可以化成带分数直接比，第3题可以和0.5（或）比较，第4题可以先约分再比，第5题直接和1比较，尤其第6题如果选择用通分法比较会非常繁琐，而选择“哪个和1更接近”来比却非常简单。这里6道题真正用通分法比较的只有第1题，由此说明，通分法虽然是一般的方法，但不一定针对每道题是最优的方法，打破学生头脑中通分的定势影响。这6道题基本涵盖了分数大小比较通分以外的其他方法，“比比谁做得又对又快”无形中给学生提出了方法最优的要求，有能力的同学就会不满足于只比出大小，而要思考如何能快速地比出大小，要求的提升，促使了思考力度的提升。反馈后对产用其他最优方法比较的同学给予表扬和鼓励，从而促使更多的同学自觉优化比较方法，使每个个体能实现算法多样化和最优化。

3、强化步骤，突出“最优”。让学生针对不同的题选择最合适的比较方法，有其个体的独特体验和做法，但为了更多的同学或能力较弱的同学也体会到“优化”的好处，感悟“优化”的魅力，形成一定的优化步骤还是很有必要的。在一般学生的思维习惯中，看到两个分数首先判断“怎样通分”，看到一个分数和小数，首先判断分数“怎样化成小数”，现在要打破学生的思维习惯，形成新的思考模式。分数的大小比较“优化”程序如下：

这个优化模式也许会让部分读者认为是束缚了学生的思维，使学生陷入了机械操作，但正是有了这样的步骤，才使学生灵活思维有了拐棍，不再盲目地寻寻觅觅，尤其给了后进学生优化的工具，使他也能借着这个优化程序找到分数比较的“最优”方法，同样体验到思维创新的乐趣。这样的思维模式，也突出了教师对分数大小比较的新要求：不仅要比得对，更要比得妙；不仅要比法多样化，更要比法最优化。

学生通过一节课的学习，可能对各种比较方法有了了解，对方法的优化有了感悟，但要使学生最终达成灵活运用合适方法的目的，还要经过一段时间的实践，但有了优化的要求，有了优化的步骤，有了优化的尝试和体验，学生思维将不再停留在原地，有了更多勇气、更多灵动、更多挑战。