《正比例的意义》教学设计

【教学内容】

苏教版第56-57页例1，“练一练”和“练习十”第1、2题。

 

【教学目标】

1.结合实际情境认识成正比例的量，理解正比例的意义，能根据正比例的意义判断两种相关联的量是不是成正比例关系。

2.让学生在数学学习的过程中，获得一些学习数学成功的体验。

3.增强学生探索数学知识的意识和发现规律的能力，树立从小热爱数学的思想。 

 

【教学重点、难点】

1. 教学重点：结合实际情境认识成正比例的量的特点，理解正比例的意义。

2. 教学难点：正确判断两种相关联的量是不是成正比例关系。

 

【教学准备】

课件、学习单

 

【教学过程】

一、激情导入

师：同学们，时光在流逝，风起云涌，阴晴圆缺，城市变迁，万事万物都处于千变万化之中，人也是如此。这是一个孩子刚出生时的样子，三岁。

生：6岁，9岁。

师：慢慢长大，从数学角度看，你能找到变化的量吗？

生：他的身高一直在增长。

师：身高是一个变化的量，还有其他的变化吗？

生：他的年龄也在增长。

师：年龄也是一个变化的量。在数学中将这种变化的量称为变量。（板书：变量）

我们一起看。9岁前的年龄在不断？

生：增长。

师：身高呢？

生：也在逐渐增高。

师：我们就说？

生：身高随着年龄的变化而变化。

师：是啊，这组变量是有关联的。（板书：（）随着（）的变化而变化）

师：倒果汁，我们已经很熟悉了，这里有没有变量呢？请仔细观察表格中的数据。你有什么发现？先说给你的同桌听一听。都好了？你来。

生：高度随着体积的变化而变化。

师：是不是这样的？我们一起观察，高度在不断变化，体积也在增加。如果高度减少，体积会变得更高。高度和体积就是这样同向变化的。仔细观察这里的数据，你又有什么想说的？

师：也就是说高度增加2厘米，体积增加了30立方厘米，是这样吗？后面的快速检验一下。果然如此，表格除了可以横着看，可以这样竖着查看。瞧，你你还有什么想说的？

生：它们的比值均为15。

师：都是15，你可以计算一下吗？

生：30÷2=15。60÷4=1590÷6=15。120÷8=15。150÷10=15。

师：你说得很好。男生说比值等于15，15代表什么意思？

生：体积与高度的比值。

师：你们的发现非常有价值。体积与高度的比值都是15。同学们，通过刚才的研究，我们一共有两个发现：首先我们发现了？

生：体积总是随着高度的变化而变化。（板书：体积总是随着高度的变化而变化）

师：它们就是这样同向变化的（板书：变）。在变化中，我们发现了一个有价值的现象，即什么是不变的？

生：体积与高度的比值15不变。（板书：数据的比值）（板书：不变）

师：今天我们一起研究变量之间的数量关系。

二、自主探究

1、认识正比关系

师：我们现在将其看作5个直条。根据这样的规律变化，如果高度为一厘米。体积就是？

生：15立方厘米。

师：计算速度非常快，高度0.5厘米、1.5厘米？像这样的直条还有吗？说的完吗？

生：说不完。

师：是啊，有很多，说也说不完。看它们都已经长出来了，像什么呀？

生：楼梯。

师：是的。一层一层楼梯，说的很形象，目前高度间隔为0.5，就长这样。如果间隔变成0.1，那么会如何？

生：楼梯的阶梯越来越窄。阶梯的个数会越来越多。

师：再小1点0.01。

生：楼梯更小，更窄。

师：再小一点0.001.

生：还需要窄还要多。

师：如果间隔无限细分下去，会怎么样呢？又感觉了吗？

师：你的意思是越来越平滑了是吗？你们同意吗？

师：我们一起来想像，如果无线细分下去，那么这里的阶梯将越来越窄，最终将消失，点就连成线了，我们一起来看倒果汁的整个动态过程，和你们想象的怎么样？

生：一样。

师：表扬你们越来越会想象。你看，体积总是随着高度变化而变化，他们总是这样同向变化的，变化中我们还有一个很有价值的发现，

师：体积和高度的比值

生：是不变的。

师：我们就说体积与高度是成正比例的量，（板书：体积与高度是成正比例的量）它们的关系就是成？

生：正比例关系。（板书：成正比例关系）

师：今天我们一起来学习正比例的意义。（板书：正比例的意义）

师：回顾刚才的过程。我们如何研究正比例关系的？首先、然后、最后你会说吗？你来。

生：首先我们先研究它们两者的比值，它们的比值不变，体积总是随着高度的变化而变化，最终得出结论。体积与高度成正比例的量也成正比例关系。

师：概括得很好，首先我们需要找到一组变量。通过计算发现它们的比值是不变的。最终我们可以得出结论。体积与高度是成正比例的量，它们的关系是成正比例关系。

师：加油我们也很熟悉了，这，是否存在成正比例关系的量呢？一开始说的身高和年龄呢？你们能像这样也来研究一下吗？请完成学习单。开始吧。写好的同学可以小声和学生交流一下。

师：让我们一起看。这是一位同学的作业，他认为金额和油量是？

师：身高和年龄呢？

师：请你来说一下你的想法，

生：金额随着油量的变化而变化，第一个金额是什么77.6，除以油除以油量就等于它的单价是7.76。后面使用155.2÷20，相当于7.76。232.8÷30。310.4÷40也=7.76。比值相同，因此金额与油量成正比例关系。

师：你说得很好，已经找到了判断的关键，要在变量中找到比值不变。这里呢，会说了吗？你来。

生：身高随着年龄的变化而变化。50:1=50。97:3约等于32.3，发现比值不相等。因此它们不成正比例关系。

师：看来不是所有的变量都成正比例关系。

师：这是两辆汽车的行驶情况，哪辆汽车的行驶路程与时间成正比例关系？请先观察，说出你的答案。

生：甲车。

师：为何乙车辆的路程和时间不成正比例关系？

生：因为乙车的时间和路程的比值不一样。

师：是这样吗？刚才你们说甲车的路程与时间成正比例关系，请你来说说看。

预设：因为路程随着时间的变化而变化，时间越长路程越长并且路程与时间的比值都是100，比值相同。

师：找到了不变量，还要找到变量，你来。

生：路程随着时间的变化而变化，时间越长，路程越长。

师：是的，刚才女生说的比值相等，所以路程和时间就成正比关系，这样的时间还可以变吗？

生：可以。

师：5小时、6小时、7小时？说的完吗？想象一下表示路程和时间的图像会是怎样的？用你们的手势比划一下，接收到信号了。是这样吗？越来越有感觉了，现在速度是100，就长这样。

师：如果变化速度会长什么样呢？想不想来看？速度想变成多少，随便说。

师：现在速度慢一点，想变成多少？

师：只要速度一定，路程和时间就会成？

生：正比例关系。

 

2、正比关系式

师：同学们。我们刚才共同研究了三个正比例故事，看一看怎样的两个量会成正比关系？

生：比值相同。

师：还有没有要补充的？

生：随着一个量的变化而变化。

师：你的意思是首先找到一组变量，满足了吗？刚才你们说的要先找到两个变量，变化的量，我们以前学习过的可以用什么表示？

生：Y总是随着X的变化而变化

师：现在这三个关系式就得用三个关系式来表示，那你能不能用一个关系式来表示所有的正比例故事呢，想一想，完成学习单。（板书：y/x）

师：两份不同的作业，一起来看，你更同意哪位同学的？请你说明理。

生:并非所有的正比关系得到的比值都是7.76。N可以概括任何数字。

师：通常我们在数学上使用k来表示（板书：k）。因为它是不变量。因此会在后面加上(一定) （板书：一定）。

师：同学们，现在这里的Y总是随着X的变化而变化，同时满足Y比X的比值等于K一定。我们就说Y比X成正比例关系，现在这个式子就能表示所有的正比例故事了。你还能讲述一些正比故事吗？我先举例说明，在购物的故事中。如果数量一定总价和单价就成正比例关系。如果单价一定，那么总价和数量就成正比例关系。你们会说了吗？请说给你的同桌听一听。请你分享一下。

生：如果工作效率达到一定，那么工作总量与工作时间就成正比例关系。

师：原来工作故事中隐藏着正比例关系，还有其他的吗？

生：如果时间一定的话，路程就和速度成正比例关系。

师：原来路程问题中也藏着正比例关系呢。那像这样的故事还有吗？

师：原来，我们用这些数量关系，讲述的是数与数之间的关系，今天，我们用这个关系式讲述变量之间的正比例故事。现在你们越来越厉害了，带着这样的感觉，我们一起来判断；

三、巩固提高

1、师：判断每组中的两个量是否成正比例关系？是的打“√”，不是的打“×”。

师：先看一看，第一个？第二个？接收到了。都是一组变量，怎么一个成，一个不成呢，说说看。

生：吃掉的和还剩的不成正比关系。第二个小棒根数与三角形个数的比都是3，因此小棒根数和三角形个数成正比关系。

师：你们已经掌握了判断的关键，我们都要在变量中找到比值不变的关系。

师：这两道题都会判断了，这两道呢？接下来请完成学习单。

2、

 

师：这是一位同学的作业，他认为正方形的周长和边长是？

生：成正比关系。

师：面积与边长的关系呢？

生：不是正比关系。

师：请说明原因。

生：第一个周长和边长的比值都是4，第二个面积和边长的比值是变化的，所以边长和周长是成正比的关系量，面积和边长不是正比关系的量。

师：你真厉害，说到了判断的关键点。看来原来学习的周长和边长的关系是成正比例的。

3、

师：看，这也是我们学习过的内容，现在带着正比例的眼光来看，你能找到正比例关系的量吗？

生：产品数量与时间的比值是不变的，因此产品数量与时间是成正比关系的。

师;原来说的照这样计算，就是利用正比例关系来解决问题的。

生：硬币的高度比硬币的数量成正比。

师：是的，他们的比值，每枚硬币的厚度是一样的，所以也成正比例关系。原来以一枚一元硬币的高度，我们也可以利用正比例关系来进行推理。

4、师：同学们，我们用字母表示数的时候，我们就玩过这样的一个游戏，这是一个神奇的信箱，仔细看，输出的数和输入的数是不是成正比关系呢？

生：输出的数和输入的数成正比。

师：现在出的数字还可以继续改变吗？如果输入1，输出？输入3，输出？还是×2.5。

师：你看，每输入一个数字，通过这个神奇的信箱，我们都可以对应输出一个数字。它们之间的关系是正比例关系。目前你能否用一个式子来表示它们之间的关系？

生：Y比×=2.5。

师：是否还有其他形式？

生：Y等于2.5X。

5、师：我这题目中的数据能否输入神奇的信箱？他们来了，找到这把钥匙了吗？

生：Y等于15X。

师：我们再查看一个加油问题中的数据。

生：Y等于x乘7.76。

师：再看一个，找到了吗？

生：Y等于100X。

师：同学们表示正比例关系的信箱可能有很多。如果现在想要统一成一个信箱，你能找到这把神奇的钥匙吗？请仔细考虑。

生：Y=NX

师：可以，概括很不错，这里的N也可以替换成k，这里k是一定的。那X和Y 呢？

生：变量

四、总结提升：

师：这非常有趣。今天的课程首先从研究一组变量的数量关系入手，发现原来的知识中还藏着正比呢，相信你们一定收获满满，收入与消费成正比例关系吗？

生：是正比例关系。

师：经济学上曾经进行过一项有趣的研究；从平均角度来看，人们倾向于随着收入的增加而增加消费，但不会高于收入的增加。大数据显示消费与收入之间的确存在关系，你是否想要了解？它们是否成正比关系？还没有结束。还满足Y=kX的形式吗？后面多了一个小尾巴。

生：这不成正比关系。

师：城市和农村之间并不成正比关系。尽管农村和城市人均收入与消费不成正比关系，他们确实存在这样的规律，因此著名的经济学家海恩斯。得出这样一个重要结论；人们的消费和收入呈线性函数。今天学习的正比就是线性函数的一种关系。都在变化中寻找不变的东西。

师：同学们，现实世界中，各种变量都处于各自变化和互相影响、互相制约的状态中，函数正是研究这些变量变化，彼此关系的基本工具。

师：刚才我们提到的收入和消费就是利用了函数这个基本工具。等你们升入中学后，我们会进一步学习函数。今天的课程就到此结束。