追及、相遇类典型题型分析和易错点警示

追及、相遇类问题是运动学中非常典型的运动类型，其实质就是分析讨论两物体在同一时刻能否出现在同一空间位置的问题．该类问题以其复杂的物理情景，综合的知识内涵及广阔的思维空间，充分考查了学生的理解能力、分析综合能力、推理能力和空间想象能力等．因此，该部分内容对于高一新生而言，是一大难点．本文就该类问题的典型题型和学生思维上常见的误区作一盘点，以期对同学们有所帮助．

一、分析、求解策略

    追及与相遇问题的求解，除了要透彻理解基本物理概念，熟练运用运动学公式外，还应仔细审题，挖掘题中的隐含条件，并尽可能地画出反映每个物体运动过程和运动规律的草图或图象，确认两个物体运动的位移关系、时间关系和速度关系，从而寻找等量关系，列出相应的方程进行求解，即必须牢牢抓住“一图三式”，由此问题必可迎刃而解．

     二、典型题型和易错点警示

1.匀加速物体追匀速物体

例1    平直公路上有甲、乙两辆汽车，甲以0.5m/s²的加速度由静止开始行驶，乙在甲的前方200m处以5m/s的速度做同方向的匀速运动，问：⑴在追上前，甲、乙之间何时有最大距离？这个距离为多大？⑵甲何时追上乙？

解析    本题描述的是一个匀加速运动追赶匀速运动的情景，属于追及问题中最简单的题型．在追赶过程中，当v_甲 <v_乙时，甲、乙之间的距离不断增大。但当v_甲 >v_乙时，甲、乙之间的距离便不断减小。由此可知，当v_甲 = v_乙 时，甲、乙之间的距离达到最大值．

（1）对甲车有：，

得，即甲在10s末离乙的距离最大．

则两车最大间距m．

（2）设甲经过时间追上乙，根据追及条件，有：

，

    即  ，

    代入数值，解得t₂＝40s，t^/₂＝－20s（舍去）．

点评    讨论追及、相遇问题，应仔细分析位移、时间、速度和加速度等物理量之间的联系，尤其应特别注意“速度相等”这一临界条件，从而正确建立运动学的方程求解，画出运动示意图亦有利于分析思考．本题还可采用函数法、图像法、相对运动法等加以分析求解，有兴趣的同学可以尝试一下．

2.匀速物体追匀加速物体

例2    当绿灯亮时，一公共汽车从静止开始以1m/s²的加速度前进，车后相距s₀=25m处，与车运动方向相同的某人骑自行车同时开始以6m/s的速度匀速追公共汽车，能否追上?若追不上，求自行车与汽车之间的最小距离为多少?

解析    在自行车和汽车的速度相等以前，自行车跑得比汽车快，两车间距在减小，若追上，在速度相等前就已追上；若速度相等时还未追上，之后自行车与汽车的距离就越来越大，那就追不上了．即自行车和汽车的速度相等这是问题的临界条件.

当自行车和汽车的速度相等时，对汽车有：t=．

此时两车位移差为：由此可知，自行车追不上汽车，则两者之间的最小距离为：．

易错点警示    本题是匀速运动追匀加速运动，不一定会追上。学生在该类题型中常出现的错解是：设自行车追上汽车用时为t，则：，由此会发现无解，从而认为是错题．细细分析上述解法会发现其错误的原因是只考虑位移关系而忽略了实际情景的分析，即要追上，不仅要满足时、空关系，还要求满足速度条件．

3.匀减速物体追匀速物体

例3    一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运行时，发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀速同向行驶，快车立即制动，加速度大小为0.5m/s².问是否会发生撞车事故?

解析    尽管刹车，但开始阶段快车的速度仍比货车的速度大，所以它们之间的距离逐渐减小，到两车速度相等时距离最小.如果此时快车没有撞上货车，之后就不会再撞上，因为速度相等以后，快车的速度将小于货车的速度，它们之间的距离将拉大.本题中是否发生撞车，决定于两车速度相等时快车位移是否小于等于货车位移加上180m.如果小于等于则不会撞车，否则将发生撞车事故.

当快车的速度减小到6m/s时所用的时间和发生的位移分别为：， ．这段时间内货车发生的位移：m。由于，所以会发生撞车事故.

易错点警示    “对快车有：，则；对慢车有：。由于，则两车不会发生相撞．”以上是该类问题最典型的错解，其原因是没有能正确分析两车的运动过程，从而把“快车的速度减为零时”当作是否相撞的临界条件．

4.匀速物体追匀减速物体

例4    甲车在前以15m/s的速度行驶，乙车在后以9m/s的速度同向匀速行驶，当相距32m时，甲关闭油门开始刹车，刹车的加速度大小为1m/s²_，则经过多长时间乙车可追上甲车?

解析    本题是追及问题中较典型的匀速运动追匀减速运动，不存在追不上的问题．在甲车速度减为9m/s前，>，两车距离不断增大，以后两车间距不断缩小，直至追上．但须注意的是追上前甲车是否已停下．

甲车停车的时间为，

此时间内甲车运动的位移为；

乙车的位移为，

则此时两车间距为：．

由此可知，当甲车停下时，乙车仍落后甲车9.5m，则要追上甲车还需时间．

所以乙车追上甲车的总时间为：．

易错点警示    匀速物体追上匀减速物体的情景有二：一种情况是乙车追上时甲车仍在运动；另一种情况是乙车追上甲车前，甲车已停下．处理该类问题时必须判断实际的情景．常见错解有：设追上时用时为t，则，解得s．此时如果判断一下速度会发现此时甲的速度，已不符合实际情景．

5.相向运动

例5    甲、乙两汽车沿平直公路相向行驶， 当它们之间相距150m时甲车关闭油门开始刹车，且刹车过程中甲的位移随时间变化的规律为，乙车的位移随时间变化的规律为，问经多少时间两车相遇?

解析    首先从位移随时间变化的规律可以得出甲车是做初速度为20m/s，加速度大小为5m/s²的匀减速直线运动，而乙车是做速度为20m/s的匀速直线运动.接着要判断乙车与甲车相遇是在甲车停止之前还是在停止之后.因为汽车刹车过程不可能反向行驶.

甲车开始刹车到速度为零的时间：，

在这段时间内甲车的位移，

乙车的位移．

由于，所以在甲车停止运动后乙车还得再运动一段时间，才能跟甲车相遇，这段时间为因此，甲、乙两车相遇需要的总时间为．

易错点警示    减速运动分可返回的减速运动和不可返回的减速运动，而对于“关闭油门的汽车”而言，其刹车过程的运动规律随着刹车的结束，运动规律不再起作用.这一点在今后运算中要引起注意。本题如果仅考虑相遇的位移条件就会有以下解法：，代入数据整理得，解得:t₁=6s，t₂=10s．显然，上述解法是错误的，原因是没有先判断甲车运动的实际情况，把物理问题当成纯数学问题来解.

6.多重限制问题

例6    一辆摩托车能达到的最大速度为30m/s，要想在3min内由静止起沿一条平直公路追上前面1000m处以20m/s的速度匀速行驶的汽车，则摩托车至少以多大的加速度起动?对于该题，有两位同学提供了以下解法．其中甲同学的解法是：设摩托车恰好在3min时追上汽车，则，解得．乙同学的解法是：设摩托车追上汽车时刚好达最大速度30m/s，则，解得．你认为甲、乙的解法正确吗?若错误，请写出正确的解题过程．

解析    这是一道具有双重限制的问题，分析时，既要考虑时间问题，又要考虑速度条件，即要两者兼顾，综合分析．甲同学的解法只考虑时间而没有注意速度条件，当车以运动时，3min末的速度为，已经超过汽车的最大速度，不符合实际情景．乙同学的解法只注意到了速度的限制，按他的答案可知，追上所需时间为，与题意不符．

从上述分析可知，摩托车必先加速到最大速度，后以追赶汽车．设摩托车的最小加速度为，则加速时间为：，由两车位移关系可知：，由以上两式可得：．

易错点警示    题中甲、乙两同学的解法是本题最容易出现的错解，其根本原因是没有全面考虑题中的限制条件，知其一而不知其二．另一方面，这道题的求解也告诉我们，解题时应认真审题，挖掘习题内部蕴藏的条件，同时还要考虑解答是否符合实际．

三、结束语

追及与相遇问题的类型千变万化，但分析处理这类问题的基本思路是一样的．从以上几例习题分析可知，要想正确处理这类问题，必须明确以下几点:(1)明确每个物体运动的性质，能写出它们的速度表达式和位移表达式；(2)明确两个物体是否同时开始运动；若不同时，开始运动的时间相差多少；(3)明确两个物体是否从同一位置开始运动，若从同一位置开始运动，则追上的位移条件是，若开始两物体相距，则是；(4)明确两物体运动速度相等是这类问题的临界点，是解决这类问题的关键性条件，此时两物体不是相距最远就是相距最近，属于解题中的隐含条件；(5)若被追的物体做匀减速直线运动，一定要注意追上之前该物体是否已停止运动.