巧建模  妙解题

——例谈“双星”模型的应用和拓展

潘华君

（江苏省宜兴第一中学  江苏 宜兴  214206）

摘要：双星运动是高中物理万有引力一章中常见的一类问题，本文拟依据运动特点，构建模型，合理外推，以加深学生对这类问题的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力．

关键词：双星模型  构建  应用  外推  三星系统  四星系统

“能力立意”是高考命题的主旋律，具体实施中又常以问题为切入点，各类物理命题均是根据一定的模型，结合某些条件而生成．我们解题的过程，就是构建或还原模型、求解结果的过程．在复习教学中，有意识地引导学生运用模型处理问题，不但可提高解题技巧，而且对发展学生的迁移思维和创造性思维起着很大的作用．本文也从这一角度出发，以高中阶段常见的双星运动为例，构建模型，合理外推，提高学生分析问题和解决问题的能力．

一、模型构建

双星系统由宇宙中两颗相距较近的天体构成，忽略系统外其它星体的作用（也可称为“孤星系统”），系统内各子星均绕着它们的中心连线上某一点做匀速圆周运动，所需的向心力由系统内其它星体对其的万有引力提供，示意图如图1．

运动特点：（1）两星体做匀速圆周运动的周期、频率、角速度相等；（2）轨道半径与物体的质量成反比；（3）线速度大小与物体的质量成反比；（4）两星体在转动中动量大小相等；（5）在匀速圆周运动中，万有引力始终与速度垂直，不做功，故转动中两星体动能不变．

注意点：万有引力定律中的r为两星体之间的距离，而向心力公式中的r为所研究星体做圆周运动的轨道半径．

二、模型应用

1.“地月系统”中的应用

例1  月球与地球质量之比约为1∶80，有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为

A.1∶6400   B.1∶80     C.80∶1     D.6400∶1

解析    月球和地球构成的双星系统绕某点O做匀速圆周运动，彼此间的万有引力提供向心力．由上面结论3可知，故正确答案是C．

点评    本题是对传统地月系统的重新认识，需按题意确立模型，作出双星运动的示意图，如图1，从而发现两个天体具有相同的角速度是解题的关键，同时依据模型特点可以很快得出结论．

2.“一线穿珠”中的应用

例2    小球Ａ和Ｂ用细线连接，可以在光滑的水平杆上无摩擦地滑动，已知它们的质量之比m₁:m₂＝3:1，当这一装置绕着竖直轴转动且两球与杆达到相对静止时，如图2所示，Ａ、Ｂ两球转动的

Ａ．线速度大小相等　Ｂ．角速度相等  Ｃ．向心力之比3:1   Ｄ．半径之比1:3

解析    当两球随轴作稳定转动时，把它们联系着的同一细线提供的向心力是相等的，即，同轴转动中的角速度也是相等的，，从这两点分析可知两球的运动可等效为双星模型，由模型特点可知，．所以本题的正确选项是BD．

点评    本题的常规方法是对每个物体进行受力分析，按照圆周运动的知识逐一求解、判断．但从上述的解析可知，将两球运动等效为双星模型，几乎可以“秒杀”该题．

3.“探知未知天体”中的应用

例3    神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX－3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图3所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量m_s的2倍，它将有可能成为黑洞．若可见星A的速率v＝2.7×10⁵m/s，运行周期T＝4.7π×10⁴s，质量m₁＝6m_s，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G＝6.67×10^－11N·m²/kg²，m_s＝2.0×10³⁰kg）

解析   由题意知，A、B两星构成“双星”模型，设A、B的圆轨道半径和质量分别为r₁、r₂和m₁、m₂，A、B两星间距为r,对可见星A有

   ， 

又因为且

由以上四式可得

设m₂＝nm_s，（n＞0），将其和m₁＝6m_s、相关数据代入上式，得

①

由该式可知，的值随n的增大而增大，设n=2，得

②

由②式可知，若使①式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m₂必须大于2m_s，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞．

点评    本题涉及的知识点较多，物理过程复杂，数学运算繁复，求解时要认真审题挖掘隐藏的条件，建立相应的物理模型，以确定其运动规律．本题着重考查了学生能否在新的情景下，迅速建模、处理问题的能力．

三、模型外推

在高中涉及的孤星系统问题中，除了双星系统外，三星、四星系统也比较常见，虽然这些多星系统不能直接套用“双星”模型的结论，但其处理思路是等效的，可以作为“双星”模型的延伸．

1．三星系统

例4    宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m．（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

解析    （1）仿照“双星”模型的处理思路，按题意画出三星运动示意图，如图4，对星体1有：

解得线速度  

星体运动的周期

（2）设第二种形式下星体做圆周运动的半径为r，示意图如图5，则相邻两星体之间的距离s=r，对星体1而言，星体2、3对其的万有引力的合力提供它做匀速圆周运动所需的向心力，即

解得

则相邻两星体之间的距离

点评    三星系统主要模型有两种：“二绕一”模型和“三角形”模型．从上面分析可知，两种模型下的三星运动和双星运动是类似的，处理方法完全一致，只要画出运动示意图，明确某一星体做圆周运动的向心力是由其它星体对该星体万有引力的合力提供的，分清边角关系，问题必可迎刃而解．

2．四星系统

例5    宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为T1；另一种形式是有三颗星位于边长为a的等边三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为T2，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比.

解析    根据题意，画出两种模式示意图，如图6、7所示．对于第一种模式，星体1在其它三个星体对其万有引力的共同作用下，以正方形中心为圆心做匀速圆周运动，则

且

解得

在第二种模式下，对星体1有

且

解得

则两种形式下,星体运动的周期之比

点评    四星系统中星体的运动与三星系统、双星系统很相似，处理思路也十分类似，仅是提供向心力的来源更复杂些．当然，以上所讨论的三星和四星系统中各子星的质量都是相同的情景，若不等，则各子星做匀速圆周运动的轨道圆心不再是正三角形或正方形的几何中心，而是在所有子星的质心处，但它们的运动规律仍与上文例4、例5中的模型相似，牢牢抓住角速度相等这一特点，用类似的思路求解．

从上面例题分析可看出“双星”模型起到了一个很好的示范作用，几个例题均是它的应用、变式和延伸．在物理学习中，将一类问题糅合到一个典型问题中从而建立一个模型，对提高学生分析、解决问题的能力很有帮助．