在复杂的物理过程中，某一物理量可能一直都在变化着，这种情况下，把整个过程分割为许多小过程或把研究对象分割成大量的微小单元，只要分割后的过程或单元足够小，对这种微小过程或单元，就可以把变化的量看做恒量来处理，从而使问题得到解决，这就是微元法。这种以大化小，以恒代变的思维方法，是物理学先人首创的解决连续变化问题的科学思维方法。

 

微元法思想在新课标教材（人教版）上时有渗透。如在引入瞬时速度的概念时，教材从平均速度出发，提出从t到t+△t这段时间间隔内，△t越小运动快慢的差异也就越小，运动的描述就越精确。在此基础上，再提出若△t趋向于零时，就可以认为△t的平均速度就是t时刻的瞬时速度。正是这种无限分割的方法，可以使原来较为复杂的过程转化为较简单的过程。再如，我们要推导匀变速直线运动的位移公式，显然不能直接用s=vt，原因就在于速度本身是变化的，不能直接套用匀速直线运动的公式。但是我们可以想象，如果我们把整个过程的时间分成无数微小的时间间隔，我们分得愈密，每一份的时间间隔也就愈小，此间隔内，速度的变化亦就愈小，如果分得足够细，就可以认为速度几乎不变，此时就可将每一份按匀速直线运动来处理，完毕之后，再累加即可。

 

必修2第五章第四节《重力势能》中，计算物体沿任意路径向下运动时重力所做的功时，先将物体运动的整个路径分成许多很短的间隔，由于每一段都很小很小，就可以将每一段近似地看做一段倾斜的直线，从而就能利用功的定义式计算出每一小段内重力的功，再累加得到整个过程重力的总功。第五节《弹性势能》中关于在求弹簧弹力所做的功时，先将弹簧拉伸的整个过程分成很多小段，在足够小的情况下，每一小段位移中可以认为拉力是不变的，从而也能直接利用功的定义式来计算每一小段内拉力所做的功，再累加得到整个过程拉力的总功。这两个功的计算，前者的难点在于物体运动的路径是曲线，后者的难点在于力的大小在变化。教材中的处理方法是前者采用了“化曲为直”的思想，后者采用了“化变为恒”的思想。

 

以上四个实例中，前两个选择的微元是一小段时间，即“时间元”，后两个选择的微元是一小段位移，即“位移元”，这是中学物理中常用的两个微元。在机械运动中瞬时速度概念的建立，是微元思想具体应用的典范。其实，像瞬时加速度、瞬时电流、瞬时感应电动势等物理概念的建立，也渗透了微元思想，课本中都未作深入的探讨，但教师如果能够将这些概念的建立与瞬时速度概念的建立进行类比,不仅能让学生加深对微元概念的理解,而且能为学生学习微元法提供机会。学生掌握了微元思想有助于对这些物理概念、规律的理解，有助于拓宽知识的深度和广度，同时开拓了解决物理问题的新途径，是认识过程中的一次飞跃。

 

 

 

 

 

一、 用微元法解题的基本方法和步骤

第一步，取元。隔离选择恰当微元(空间元、时间元)作为突破整体研究的对象。微元可以是:一小段线段、圆弧;一小块面积;一个小体积、小质量;一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征。

比如，在x-t图像中，时间很短或位移很小时，非匀变速运动可以看作匀变速运动，运动图象中的梯形可以看作矩形，所以，。

第二步，模型化。将微元模型化(如视作点电荷、质点、匀速直线运动等)，并运用相关物理规律，求解这个微元，并注意适当的换元。

第三步，求和。将一个微元的求解结果推广一到其他微元，并充分利用各微元间的关系，如对称关系、矢量方向关系、量值等关系)，对各微元的解出结果进行叠加，以求出整体量的合理解答。

比如v-t图像中，把许多小的梯形加起来为大的梯形，即，（注意：前面的为小写，后面的为大写），并且，当末速度时，有，或初速度时，有，这个求和的方法体现了积分思想。

 

例： 如图所示，水平放置的导体电阻为R ，R与两根光滑的平行金属导轨相连，导轨间距为L ，其间有垂直导轨平面的、磁感应强度为B的匀强磁场。导轨上有一导体棒ab质量为m以初速度v₀向右运动。求这个过程的总位移？

 

解析：根据牛顿第二定律，导体棒在运动过程中受到安培力作用，导体棒做非匀减速运动，           在某一时刻取一个微元   

变式   

 两边求和    

因    故    得  

小结：在处理非匀变速运动问题时，从对事物的极小部分(微元)分析入手，达到解决事物整体的方法。 在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法（累计求和）进而使问题求解。在解题过程中，常常遇到非匀变速运动过程中求位移，电量，能量等问题，灵活运用微元的思想，可以帮助我们更深刻的理解物理过程。

 

 

二、用微元法解题的方法的应用

1、微元法在变化的速度中应用

例．如图所示，两根足够长的固定的平行金属导轨位于竖直平面内，两导轨间的距离为d，导轨上面横放着两根导体棒L₁和L₂，与导轨构成回路，两根导体棒的质量都为m，电阻都为R，回路中其余部分的电阻可不计。在整个导轨平面内都有与导轨所在面垂直的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，保持L₁向上作速度为υ的匀速运动，在t=0时刻将靠近L₁处的L₂由静止释放(刚释放时两棒的距离可忽略)， 经过一段时间后L₂也作匀速运动。已知d=0.5m ， m=0.5kg，R=0.1Ω，B=1T， g取10m/s²。

(1)为使导体棒L₂向下运动，L₁的速度υ最大不能超过多少？

(2)若L₁的速度υ为3m/s,在坐标中画出L₂的加速度a ₂与速率υ₂ 的关系图像；

(3)若L₁的速度υ为3m/s，在L₂刚作匀速运动的某时刻，两棒的间距4m，求在此时刻前L₂运动的距离。

 

解： ⑴                     

⑵

重点讨论第（3）题

(3) 当导体棒L₂做匀速运动时，L₁和L₂两棒的速度分别是υ和υ₂，由平衡条件得

        得  

设当导体棒L₂、L₁的相对速度为υ_相时，棒的加速度     

取极短时间Δt，在时间Δt内速度变化Δ                  

      又υ_相Δt=Δx_相                                                           

得

代入数据得两棒间距为4m所用时间t=1.1s     导体棒L₁运动的位移x₁=υt=3×1.1m=3.3m

导体棒L₂运动的位移 

   

 

 

2、微元法在变化的位移中应用

例：从地面上以初速度v₀竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t₁时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v₁，且落地前球已经做匀速运动．求：

（1）球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功；

（2）球抛出瞬间的加速度大小；

（3）球上升的最大高度H．

解析： ⑴    ⑵   

重点讨论⑶

上升时加速度为a，

      取极短时间，速度的变化量，有

      又      上升全过程

      则              

 

 

 

 

 

 

 

 

3、微元法在变化的时间中应用

例：如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、 足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B、方向与导轨平面垂直。长度为2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”型装置，总质量为m，置于导轨上。导体棒中通以大小恒为I的电流（由外接恒流源产生，图中未图出）。线框的边长为d（d < l），电阻为R，下边与磁场区域上边界重合。将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。重力加速度为g。

求：（1）装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的焦耳热Q；

   （2）线框第一次穿越磁场区域所需的时间t₁ ；

   （3）经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离_m 。

                  

解析．(1)  

（3）

重点讨论第（2）题

（2）设线框刚离开磁场下边界时的速度为，则接着向下运动 

由动能定理   

装置在磁场中运动时受到的合力

感应电动势 =Bd    感应电流=   安培力

由牛顿第二定律，在t到t+△t时间内，有

则

有         解得   

微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。使用此方法会加强我们对已知规律的再思考，从而引起巩固知识、加深认识和提高能力的作用。