《正比例和反比例》（第一课时）教学设计
宜兴市官林实验小学   成成    214200
一、【课题】
六年级数学《正比例和反比例》第一课时
二、【教材分析】
《正比例和反比例》（第一课时）是苏教版义务教育课程标准实验教科书六年级下册第六单元的内容。这部分内容是在学生掌握了比和比例及常见数量关系的基础上，结合现实情境，通过两个数量保持商一定的变化，教学正比例的关系。学生在理解正比例的意义，建立正比例概念的同时，也能感受到函数思想的熏陶，为第三学段的学习奠定扎实的基础。
三、【学情分析】
就学生而言，在日常生活中常常能接触到有正比例关系的事例，有充分的学习正比例关系的现实背景和经验。在过去学习运算律和用字母表示数的过程中，已经初步接触了正比例的变化规律，对变量的思想有过一些感知。结合现实背景，学生较容易判断有具体数据的两个量是否成正比例；但是，当脱离具体数据，正比例是相当抽象的数学概念，理解正比例关系的含义，用符号概括正比例的特征对于学生来说都有较大的难度。
四、【目标预设】
1.学生结合实例经历正比例意义的构建过程，理解正比例的意义，能够根据正比例的意义判断两个相关联的量是否成正比例。
2.学生在探究成正比例的量的过程中，体会变量的特点，感受用数学模型表示特定数量关系及其变化规律的过程与方法，感悟模型思想，函数思想，发展发现和概括数学规律的能力。
3.学生在探究、发现的过程中进一步体悟数学与日常生活的密切联系，增强从日常生活中发现和探索数学规律的意识，获得一些成功的体验，激发对数学学习的兴趣。
五、【重点、难点】
理解正比例的意义，能够正确判断两种相关联的量是否成正比例；体悟“变与不变”的数学思想，能用数学模型表示特定的数量关系以及变化规律。
六、【设计思路与理念】
本课以在构建正比例关系，理解正比例的意义的过程中充分体会模型思想、函数思想为目标展开教学。重视从学生的生活实际出发，以探究性学习为主导，引导学生通过观察、思考获得总结数学规律的经验。
七、【教学方法】
基于现实背景引导学生发现规律，总结规律，体会正比例关系的构建过程；对每一个具体的问题引导学生用不同的方式去表征其数量关系；组织学生合作学习，共同探究，通过比较感受不同表征之间的一致性，促进学生对概念的理解和掌握。
八、【教学过程】
一、创设情境，感受相关联
1.一辆汽车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：
时间/时 1 2 3 4 5 6 (     ) …
路程/千米 80 160 240 320 400 480 560 …
师：同学们，请看大屏幕，谁来填一填？你是怎么想的？
点名回答，组织反馈。
指出：同学们不仅发现了在行驶过程中，汽车速度固定不变，填出了正确答案，而且会用式子来表示这三种量之间的关系，这个式子也可以写成分数比的形式：（一定）。
课件出示“（一定）”，学生齐读关系式。
2.一辆货车在公路上行驶，行驶时间和路程如下表：
时间/时 1 2 3 4 5 6 (     ) …
路程/千米 40 90 150 200 260 310 380 …
师：谁来填一填这一题？
提问：为什么不能填？
组织学生交流讨论。
指出：货车行驶的速度不一定，所以不能填，那怎样求货车的速度呢？
根据学生回答，课件出示：“（不一定）”
3.一辆汽车在公路上行驶，已行驶的路程和未行驶的路程如下表：
已行驶的路程/千米 13 24 45 50 62 (     ) …
未行驶的路程/千米 67 56 35 30 18 12 …
师：这儿能填吗？你有什么发现？能不能用式子表示这两种量之间的关系？
根据学生回答，课件出示：“已行驶的路程+未行驶的路程＝总路程（一定）”
【设计说明：正比例是一种特殊的函数关系，想要建立起正比例的概念，首先要对变量有充分的感知。为此，这一环节在同一情境下设计了三张各有特点的表格。填表的过程不仅是回顾旧知的过程，亦是细致观察，充分体悟的过程。应引导学生根据表格特点，提炼出量与量之间的关系，并用式子表达，对量与量之间的变化规律产生初步感知。】
二、观察比较，揭示“相关联”
1.屏幕出示三张表格以及对应的数量关系式。
师：让我们再来仔细观察一下这三张表格，看一看表格中的两个量都是怎样变化的，并和你的同桌说一说。
组织交流。
提问：每张表格中的两种量都在变化吗？你能不能用手势表示一下它们的变化方向？
指名交流。根据学生回答，教师课件上用箭头表示量的变化。
提问：三张表中的量变化的方向不一样，那表中的两种量在变化的时候有什么相同之处吗？
指出：也就是说，都是一种量发生了变化，另一种量也随之发生了变化。
揭示：不管怎样变化，这两种量我们可以称为“相关联的量”。
板书：相关联的量
2.教师出示以下两张表格。
    购买一种铅笔的数量和总价如下表：
数量/支 1 2 3 4 5 6 …
总价/元 0.4 0.8 1.2 1.6 （   ） （   ） …
将一瓶水倒入大小不一的圆柱形杯中，杯子底面积和水面高度的变化情况如下表：
底面积/cm2 10 15 20 30 60 …
水面高度/cm 30 20 15 10 （   ） …
提问：观察这两张表，表中的两个量是不是相关联的量？你能不能用式子表示这两种量之间的关系？
【设计说明：回过头观察上一环节填写的三张表格，观察角度由两种数量之间的关系切换到探索两种量之间的变化规律，由“比较不同”到“发现相同”。在学生对每张表格中的两个量多角度观察，体悟它们之间的变化和关系的基础上，揭示“相关联的量”。后续出现的表格切换不同情境，进一步帮助学生理解“相关联的量”。】
三、对比分类，提炼“正比例的意义”
1.对比分类。
谈话：刚刚我们已经研究了五张表格（屏幕展示表格和数量关系式），你能按照一定的标准给这五张表格分分类吗？你打算怎样分？先独立分一分，再以四人为一小组进行交流。
根据学生回答，教师相机引导讨论。
2.提炼“正比例的意义”。
让我们把目光聚焦到第一张和第四张表上，你觉得这两张表中的两个量有什么相同之处吗？
学生回答，教师相机点评。
指出：这两张表中相对应的量的比值一定，这两种量是成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。
板书：正比例
提问：谁能具体说一说这两张表中的量为什么成正比例关系。
3.因导建模，深化理解
谈话：我们生活中居然可以找到这么多的正比例关系，我们能不能想想办法，用一个式子来表示这种关系呢？
根据学生回答，相机点评。
引导：如果我们用字母x和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用什么样的式子来表示呢？
根据学生回答，教师相机板书：或
指出：这就是正比例的符号表示方法。
【设计说明：数学学习过程实际上就是不断抽象的过程，由具体的量到比较观察，跳出现实背景探索潜在的，本质的联系，再到用字母来统一、凝练的概括正比例的关系，再次揭示正比例的意义的同时，也为第三学段的学习埋下了伏笔。】
四、结合实例，巩固拓展
1.直接判断，阐述理由。
张师傅生产零件的情况如下表：
时间/时 1 2 4 6 8 …
生产零件数量/个 25 50 100 150 200 …
做同一种服装，做的套数和用布的米数如下表：
服装数量/套 1 2 3 4 5 …
用布数量/米 2.2 4.4 6.6 8.8 11 …
正方形的周长和边长如下表：
正方形边长/厘米 1 2 3 4 5 …
正方形周长/厘米 4 8 12 16 20 …
提问：表中的两种量是否成正比例关系？
指名学生回答，教师相机点评。
2.聚焦反例，找寻原因。
提问：另外三张表中的两个量也是相关联的量，它们成正比例关系吗？屏幕展示另外三张表。
再次强调正比例的意义。
指出：只有满足两种相关联的量比值一定时，这两个量才成正比例关系。
3.联系实际，设计数据。
    提问：联系我们的生活，你能不能设计一组数据，使两种相关联的量成正比例关系？
【设计说明：以“变”与“不变”为生长点，设计具有层次的练习，先根基正比例的意义判断表中的两种量是否成正比例关系；再聚焦反例，寻找不到正比例关系的两种量，通过比较，寻找原因；最后引导学生结合生活实际，勾连已有经验和正比例的意义，设计成正比例关系的数据。通过这样层层递进的练习，不仅训练了学生运用意义的能力，也加深了学生对意义的理解。】
五、全课总结，反思提升
提问：回顾一下，通过今天这节课的学习，你有哪些收获？还有哪些疑问？
从以下几方面引导学生从全面回顾本节课的内容：
（1）什么是相关联的量？
（2）两种相关联的量的变化规律。
（3）正比例的意义以及用字母的表示方法。
（4）从“变化”中寻找“不变”的思考方法。 
九、【作业布置】
找一找生活中成正比例的例子，结合正比例的意义和家长说一说你是怎样判断的，并能够用带有字母的式子来表示正比例关系。






十、【板书设计】
正比例的意义
相关联的量  一种量发生变化，另一种量也随之发生变化