一张纸引发的数学问题

宜兴市和桥实验小学 张琳

教学内容：苏教版《义务教育教科书·数学》六年级下册图形与几何第94页。

教学目标：

1.通过不同“围”图形的活动唤醒立体图形的表面积和体积计算公式的知识经验并进行梳理，沟通立体图形的表面积和体积知识之间的关系，拓展图形测量的领域，体会二维和三维空间之间的转化关系，并能解决实际问题。

2. 通过动手操作、思考、比较、分析、想象等活动进一步感受数学知识的奇妙，培养动手操作能力，发展空间观念和极限思想，落实数学核心素养。

教学重、难点：沟通立体图形的表面积和体积知识之间的关系，拓展图形测量的领域，体会二维和三维空间之间的转化关系。

教学准备：课件。

教学过程：

一、谈话引入，提出问题。

出示纸，这是一张A4纸。用一张A4纸可以研究什么数学问题？

预设：移一移，转一转，围一围

同学可真厉害，一下子就能提出这么多不同的问题。今天这节课我们就来研究这些问题，张老师希望通过今天的探究能给大家一些启示。（板书课题：一张纸引发的数学问题）

 

二、操作发现，解决问题。

1、移一移（平移）

把A4纸像这样平移，想象一下能得到什么图形？（稍作停顿）（生齐：长方体）。如果要形成一个正方体呢？需要什么样的纸？（正方形纸）课件演示

根据这些信息，你能求出什么？（表面积和体积）

学生回答，课件出示公式。

S 长方体=（ab+ah+bh）×2    S 正方体=6a²     

V 长方体=abh                V 正方体=a³  

2、转一转（旋转）

你想怎样转，得到怎样的图形？

生1：以长为轴旋转一周，可以形成一个圆柱，长是圆柱的高，宽是圆柱的底面半径。

还可以怎么转动？

生2：以宽为轴旋转一周也可以形成一个圆柱，宽是圆柱的高，长是圆柱的底面半径。

现在给你信息，你能求出什么？（圆柱的表面积和体积）

学生回答，课件出示公式。

  S 圆柱=2πr²+Ch

   V 圆柱=πr²h      

小结：通过平移和旋转，我们可以把平面图形转化成立体图形。

3、围一围

 （1）方法指导

刚刚有同学提到可以围一围，如果给你一张 A4 纸，你能围成一个立体图形吗？说一说你是怎么围的。

预设一：像这样，将A4纸的长作为圆柱的底面周长，宽作为圆柱的高，围起来就是圆柱了。

预设二：我也围成了圆柱，我是将 A4 纸的宽作为圆柱的底面周长，长作为圆柱的高。

这两位同学都以这张 A4 纸为侧面围成两个不同的圆柱。我们在围的时候，纸的边缘不能有交叉和重叠，边对准边把两条棱粘在一起，面不能重合，如果重叠了，纸张的面积就小了。我们在上面贴一条双面胶，再下面再贴一条双面胶，这样就可以固定住了。所以在待会儿操作的时候请两个组员一起合作完成，一个同学围，另一个同学用双面胶粘。

预设三：围出了棱柱，这位同学把A4 纸的长平均分成了4份，围出了一个长方体，还可以把一条边平均分成几份呢？像这样围，还可以围成什么立体图形呢？

（2）动手操作

明确步骤：

围一围：你想围成什么立体图形？（提示：一组内的立体图形最好不要重复）；

说一说：你围成了什么立体图形？

排一排：把小组里的立体图形有序地排一排

（3）学生展示

小组上台汇报，展示自己围的是什么立体图形，底面周长是A4纸的长，高是A4纸的宽；还是底面周长是 A4 纸的宽，高是A4纸的长。把长平均分成了几份，平均分的份数越来越多，就越接近圆，然后贴在黑板上。

预设一：按高分成两类，这组立体图形的底高都是A4纸的宽；这组立体图形高都是A4纸的长。

一组的图形能不能再摆的有序些？学生排序。

交流明确：当底面正多边形的边数逐渐增加，最后底面就变成了圆。所以，圆柱要放在最后。

预设二：有不同的分类方法吗？按棱柱和圆柱分。

预设三：棱数相同分成一类。

小结：按不同的分类标准得到的结果不同。

师生梳理、分类立体图形作品，如下

图：

同学们可真厉害，在这么短的时间里就围出了这么不同的立体图形，如果再给你时间，你还能围下去吗？请看屏幕

用一张 A4 纸为侧面，我们可围成三棱柱、四棱柱、五棱柱，继续围可以围城（七棱柱、八棱柱、九棱柱）继续围底面正多边形的边数越来越多，最终围成了？（圆柱）

如果给这些立体图形都配上两个底面，你认为这两个底面的形状、大小是怎样的？（形状和大小是完全一样的）

这样的立体图形都加上两个底面，就可以称为“柱体”。

（4）观察比较。

①比较第一行图形。

都配上两个底面后，我们观察第一行的立体图形，它们有什么相同点和不同点，同桌讨论一下。

交流明确：第一行立体图形的高相同，都是A4纸的宽；底面周长相等，都是A4纸的长。

侧面积相等，都是A4纸的面积。

这是它们的相同点，那不同点呢？

预设一：表面积不同。你是怎么想的？

交流明确：周长相等的所有平面图形中圆的面积最大。这些图形侧面积都相等，圆柱的底面积最大，所以圆柱的表面积也最大。

预设二：体积也不相同。

交流明确：这些图形的高都相等，圆柱的底面积最大，所以圆柱的体积也最大。

②比较第二行图形

第二行的图形呢？谁能说一说？

③竖着比

刚刚我们是横着看的，如果竖着看呢
竖着看每组图形时，两个圆柱相比，谁表面积更大？

交流明确：两个圆柱侧面积相同，长作为底面周长，底面积就大，以宽作为底面周长，底面积就小，相同的进行比较。

第一行图形的表面积都分别比相对应的第二行的图形大。

5、归纳发现

同学们真善于观察，有一双善于发现的眼睛。想一想这些柱体的表面积怎么求？体积计算公式又是什么？

预设：（1）这些柱体的表面积都是一个侧面积加两个底面积，所以表面积计算公式是S 表＝2S 底＋S 侧。

（2）学习圆柱的体积计算公式时，是将圆柱切、拼成长方体，依据长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式是底面积乘高，那么这些柱体都可以转化成长方体，从而推导出它们的体积计算公式也应该是底面积乘高。

由此我们可以推导出柱体的表面积都可以用S 表＝2S 底＋S 侧，体积都可以用V=Sh来表示。

三、提炼方法，建构关联。

交流明确：平面图形通过移一移、转一转和围一围可以得到立体图形。通过操作、观察、比较、归纳，能发现很多规律。这是常用的研究问题的方法。

四、学以致用，感受变化。

1. 生活中你在哪里见到过柱体？学生举例。

展示快递盒实物向学生解释有时为了保护物品会把快递盒设计成棱柱或者圆柱。

2、课件出示：为了整理资料，张老师在网上购买了 1000个空档案盒，要快递到学校，请问怎么运输最方便？

 

预设：（1）我觉得可以是把档案盒叠在一起运，像这样（用数学教材做示范，将面积最大的一面叠加）。

可是这样叠在一起，高就有80×1000＝80000（mm），也就是80米了，比楼房还高。那怎么运输最方便？

提示：像我们在网上购买家具的时候，家具是组装完好的吗？像书柜都是拆成片快递到家，然后进行组装，这样既运输方便又节省空间。

学生提出把档案盒拆了变成一个平面，教师将实物档案盒交给学生操作。

将档案盒拆开，成为一张塑料皮，如果粘贴的部分忽略不计，你觉得什么变了？什么不变？

（表面积不变，体积变小了）。

抓住“变与不变”的规律，成功解决了问题。

把立体图形展开成为一个平面，把这1000个平面叠在一起，会成为？想象一下，成为一个长方体，从平面图形又成为了一个立体图形，在实际生活中它们可以相互转化。

五、总结回顾，反思收获。

今天我们从一张A4纸出发研究多个问题，你有什么收获？

预设：（1）在这张纸围立体图形的过程中，我不仅复习了立体图形的表面积和体积计算公式，还知道了柱体的表面积和体积计算公式、锥体的体积计算公式。

（2）这张 A4 纸太厉害了！让我知道了原来长方体、正方体、圆柱的表面积都可以用一个公式 S 表＝2S 底＋S 侧计算，体积也是用一个公式V=Sh计算，变得简单了！

（3）这张 A4 纸让我对平面图形和立体图形有了新的认识，在实际生活中它们可以相互转化，让我们的生活更加精彩！

六、课外延伸，联系生活

欣赏生活中的A4 纸，用一张纸折成什么？（最强大脑，纸文化）

这节课我们沟通了平面图形和立体图形之间的联系，平面图形和立体图形可以相互转化的。思维要灵活，思考问题要多角度。用联系的眼光去看生活，用联系的眼光去看数学，在立体图形的世界里，还有许许多多的知识等待我们去探索。