有效联结：促进知识结构化
——“不规则图形的面积”教学片断与思考
“不规则图形的面积”是“图形与几何”部分新增的教学内容，安排在苏教版小学数学教材五年级上册第二单元，是在学生学习了平行四边形、三角形、梯形和组合图形的面积之后学习的一节课。由于不规则图形很难把它分解成已经认识的基本图形，因此《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“能用方格纸估计不规则图形的面积”列为教学目标，估计的思路是假如用适当的面积单位去量不规则图形面积的大小，大约含有多少个这样的面积单位。如何将本节课的内容与其它知识融合在一起，从“零散性”走向“系统性”，笔者进行了尝试与研究。
片段一：在“分类数格”中初步感受估算不规则图形面积的一般方法
师：下面是某自然保护区一个湖泊的平面图，每个小方格表示1公顷，你能估计这个湖泊的面积大约是多少公顷吗？
生：我是用数格子的方法来估计的，面积大约是72公顷。
师：你是怎样数的呢？
生：我数的时候分成两部分，一部分是整格的有55格，另一部分是不满整格的，把不满整格的大半格和小半格拼凑在一起，当成一整格，合起来大约是72公顷。
师：还有没有不一样的数格子的方法？
生1：我是先数整格的，再用四舍五入的方法，把不满整格的但又超过半格的都当作整格，不满半个格都舍掉，面积大约是55＋19＝74（公顷）。
生2：我是把不满整格的全部当成半格来计算，再加上整格的，湖泊的面积大约是55＋36÷2＝73（公顷）。
师：刚刚同学们用了不同的数格子的方法，估计出了湖泊的面积，你认为这些估计的结果都合理吗？
生：我认为都可以，因为估计难免会有误差，只要在一个范围内，应该都是正确的。
师：那谁来说说这个湖泊的实际面积在哪个范围之间？你是怎样想的？
生：应该在55～91公顷之间。因为整格的有55格，也就是说湖面面积不少于55公顷；把不满整格的都当作整格计算，一共是91格，那么湖面面积一定不会超过91公顷。（出示下图）

师：刚刚同学们估计的结果都在这个范围之内，因此都是合理的。那不满整格的想办法拼成整格，或者直接当作整格、半格来计算，也就是运用了我们前面学习的什么方法？
生：就是运用了转化，将不是整格的转化成整格或者半格，只是这里的转化不是精确的，是估计着转化，是近似的转化。
师：刚刚同学们用数格子的方法估计出了湖泊的面积。将小方格分成整格的和不满整格的两类来数，并把不满整格的按半格计算，是我们估计不规则图形面积常用的方法，用这样的方法估计出来的湖泊面积大约是73公顷。
【思考】“不规则图形的面积”是“多边形面积”这一单元的最后一个内容，是在学生具备了丰富的数格、剪拼、割补等技能以及将新图形转化成学过的图形的经验基础上展开教学的。利用方格纸估计不规则图形的面积是求近似面积方法中最普遍常用的一种。本环节既激活了学生的知识储备，用适当的面积单位去量不规则图形面积的大小；又让学生在估计面积的过程中体验不同估算方法的策略、意义及价值。由于在教学中学生没有主动提出估计的上界与下界，因此教师通过引问“你认为这些估计的结果都合理吗？谁来说说这个湖泊的实际面积在哪个范围之间？”让学生初步体会上、下界对于面积估计的意义与价值。
片段二：在“转化计算”中深入体悟估算不规则图形面积的不同方法
师：同学们，除了用数格子的方法，还有没有其他的方法？（大部分学生沉思，有两三个学生跃跃欲试）
生：前面我们已经学习了长方形、平行四边形、三角形、梯形等图形的面积计算，既然是估计湖泊的面积，能不能直接将这个湖泊看作这些基本的图形？
师：你真棒，会联系以前学的知识来解决新的问题。下面请同学们试着将这个湖泊近似看作学过的基本图形，试着在练习纸上画一画，算一算。
学生自主操作。
生1：我是将这个湖泊的面看作一个长方形，这个长方形的长是12格，宽是6格，这个湖泊的面积大约是12×6＝72（公顷）。（出示下图）







师：明明不是长方形，为什么可以看作一个长方形呢？
生：可以用移多补少的方法将长方形外部多出来的部分拼到长方形内空缺的地方。
师：你真会思考，我们发现这位同学估计出来的面积和前面用数方格估计出来的面积很接近。
生：我还有一种方法。我把这个湖泊看作两个梯形，估计出来的面积正好是73公顷。（出示下图）左边的梯形面积是（4＋8）×8÷2＝48（公顷），右边的梯形面积是（2＋8）×5÷2＝25（公顷）,48＋25＝73（公顷）。






师：你怎么想到要将湖泊的面分成两个梯形？
生：因为分成的图形越小，估计出来的结果会越接近实际的面积。
师：同学们，你们同意他的观点吗？除了可以分成两个梯形，还能不能分成其他的基本图形呢？
生：我觉得还可以分成几个三角形，或者几个平行四边形。
师：把不规则图形近似看成规则图形，也能巧妙地估算出不规则图形的面积。
【思考】多边形面积这一单元的学习，从把平行四边形转化成长方形开始，到三角形和梯形转化成平行四边形，再到组合图形通过割补成基本图形的过程，学生对把新图形转化成学过的图形的方法已领悟深刻。因此，在解决非标准的不规则图形的面积时，很自然地就会想到把不规则的图形近似看作已经学过的基本图形来进行计算。而且后续学习的数学实践活动——《校园绿地面积》，更倾向于把不规则图形近似看作规则图形来思考。本环节教师只要借力施力，放手让学生在相对开放的自主探究与合作交流中，体悟“转化”这一思想方法的创造力量，推动学生思维进阶。
片段三：在“实验操作”中主动探索估算不规则图形面积的特殊方法
师：同学们，刚刚我们通过数格子的方法以及将不规则的图形近似看作基本图形的方法估算出了湖泊的面积，那还有没有其他的方法来估计不规则图形的面积呢？
全班同学都陷入沉思，静等一会儿后出示一盒绿豆。
师：这是一盒绿豆，你能用这盒绿豆创造出新的方法来估计这个图形的面积吗？四人小组可以先讨论一下。
教师话音刚落，学生纷纷开始交流讨论。不一会儿，就有学生兴奋地举手示意。
生：我们组已经想到方法了，可以将绿豆先铺满整个湖面，然后再将这些铺满湖面的绿豆重新铺成我们学过的图形——长方形，通过测量这个长方形的长和宽就可以算出长方形的面积，也就是原来湖泊的面积。
师：你能把你的想法展示给大家看吗？
学生演示。（出示下图）







生：通过等积变形，铺成的长方形的长是12格，宽是6格，可以算出湖泊的面积大约是12×6＝72（公顷）。
师：还可以将这些绿豆铺成其他图形吗？
生：也可以将这些铺满湖面的绿豆铺成三角形、平行四边形或梯形，只要是学过的基本图形，都能通过计算估计出湖泊的面积。
师：同学们，你们太厉害了！借助绿豆这个“工具”，通过变形，将不规则的湖泊面转化成了面积相等的基本图形，从而估算出了湖泊的面积。“曹冲称象”的故事还记得吗？你能说说曹冲借助什么称出了大象的重量？
生：曹冲借助石头称出了大象的重量。
师：你能说说这个故事和这里的方法有什么相同之处吗？
生：曹冲借助石头，将大象的重量转化成重量相等的石头；今天我们是借助绿豆，将不规则图形转化成面积相等的规则图形。
师:生活中有很多东西都可以成为我们数学学习与研究的工具，只要你有会发现的眼睛和会思考的头脑。
【思考】数学实验是基于特定的物质条件通过具体化的操作，进行的一种数学探索、研究活动。小学生对数学实验都有非常浓厚的兴趣。本环节教师通过提供绿豆这个媒介，让学生在挑战中激发内驱力，获得成功的实验体验，从而对数学产生美妙的感觉：原来数学这样神奇，看起来毫不相干的东西却能紧密联系在一起，相互转化。整个过程拓宽了学生的数学视野，涵养了学生的数学素养。
片段四：在“回顾反思”中有效沟通估算不规则图形面积方法间的联系。
师：同学们，今天我们用了不同的方法估算出了湖泊的面积，谁来总结概括一下是哪几种方法？
生：第一种方法是数，分别数出整格的和不满整格的，把不满整格的当成半格计算，从而估计出湖泊的面积。第二种方法是转化，将不规则的图形近似看成规则的图形再计算。第三种方法是借助绿豆，将不规则的图形直接转化成规则的图形。
师：那这三种方法有什么相同之处吗？
生1：估计出的结果都是近似数，不是精确数。
生2：把不满整格的当作半格计算；把形状不规则的湖面近似看作长方形；借助绿豆将不规则图形转化成长方形。这些方法实际上都运用了转化，都是将不规则图形转化成规则图形进行估计的，。
师：生活中有很多不规则的物体的表面，如手掌面、脚掌面、树叶面等等，你会灵活运用今天所学的方法来估计一下它们的面积吗？自己试着估一估吧。
【思考】学习数学的价值并不在于它的事实知识和原理，而是能通过数学学会思维。本环节通过引导学生对学习过程的反思、总结与比较，挖掘出多种方法背后策略的一致性：都是把不规则图形转化成规则图形进行估计的。学生在回顾总结的过程中，加深了对策略的理解，透过知识的“表层结构”，深入地认识了知识内在的“数学结构”，感悟到知识内部的数学本质。