认识垂线

《认识垂线》是图形的认识领域内一个重要内容，课标的要求是结合生活情境了解平面上两条直线的相交（包括垂直）关系。在不同版本教材中这部分内容的安排略有差异，人教版、北师大版、苏教版教材都是在四年级上册学习这一内容，但单元安排的前后次序不同。我们课题组在研究本案例时基于核心知识，形成结构联结，遵循认知规律，紧密围绕以高阶思维为核心的素养发展目标，展开教与学活动，帮助学生形成自然融合的学程经历。

一、学理分析：三个角度探寻知识结构

（一）宏观中分析知识

《认识垂线》是苏教版四年级上册第七单元《垂线和平行线》的重要内容，“垂直”和“平行”是同一平面内两条直线的特殊位置关系，是认识常见平面图形不可缺少的基础知识。认识平行四边形和梯形的特征，建立平行四边形、三角形、梯形的高的概念，都离不开垂直和平行的知识。从这一点来说本单元是直观认识几何形体向形成线、角、形、体、等几何概念的重要转折点。

从教材的宏观结构（表1-1）可以看出，对于垂线的认识，苏教版教材大体经历了，空间观念的基础构建阶段：二年级上册认识线段，二年级下册角的初步认识，三年级上册认识长方形和正方形，接着是空间观念的初步建构阶段：在四年级上册认识直线、射线和线段还安排了角的认识和度量，这些图形和空间的基础知识都为垂线和平行线的认识打下基础，然后是空间观念完善建构阶段：认识三角形、平行四边形、梯形、圆等平面图形知识，最后又通过认识长方体和正方体、圆柱等知识勾连了几何体的认识，建立点、线、面、体的几何认识整体框架，逐步培养和发展学生的空间观念。具体如下:

表1-1  苏教版教材“认识垂线”一课宏观结构分析

对应教材单元	单元课题	相应课时
六年级上册第一单元	《长方体和正方体》	长方体和正方体的认识
五年级下册第六单元	《圆》	圆的认识
四年级下册第七单元	《三角形、平行四边形和梯形》	认识三角形 认识平行四边形和梯形

四年级上册第八单元	《垂线与平行线》	认识垂线
三年级上册第三单元	《长方形和正方形》	认识长方形和正方形
二年级下册第七单元	《角的初步认识》	角的初步认识
二年级上册第五单元	《厘米和米》	线段的初步认识

几何学中的“点”“线”“面”“体”是十分抽象的概念，反映了客观世界和现实生活中许多物体或现象在形方面的本质特点。苏教版教材这样的教材编排，帮助学生从长度开始，不断扩充点、线、面、体的空间观念，帮助学生更好的用数学的眼光认识世界。

（二）中观中衔接知识

从单元内容的中观角度来分析看(图1-2），本单元从认识射线和直线开始，在学生认识了射线特征和属性之后，再教学角的认识，角的度量，角的分类，最后结合前面认识直线的相关特征认识垂线和平行线。至此，关于图形与几何中“点”“线”的知识体系储备已然形成。以下是本单元内容的学习顺序：

图1-2 四年级上册教材单元内容的中观层面分析

 图1-2 四年级上册教材单元内容的中观层面分析

  

    

 

 

（三）微观中理解知识

在苏教版、人教版、北师大版教材中，本课都安排在四年级上册学习，对于这一具体课时内容的编排，不同版本的教材编排如下（表 1-3）

 

 

 

 

表 1-3 不同版本教材的课时内容微观层面分析

苏教版	人教版	北师大版	青岛版
一、从生活情境中引入，抽象出互相垂直的概念，关联旧知，感受互相垂直的现象非常广泛；  二、由具体到抽象，再从抽象回到具体，帮助学生建立垂直的概念；  三、通过实际测量，让学生感知互相垂直，认识了点到直线的距离。	一、直接从画直线开始、观察两条直线的不同位置关系，归纳得出相交和平行两个概念 二、在相交的两条直线中通过测量夹角的度数，认识垂直概念。  三、实际操作画线引入，抽象出平行和垂直的概念，又回到生活中寻找，经历从抽象到具体的过程。	一、从生活情境中先抽象出相交的概念，再研究相交中的特殊情况垂直。  二、通过练习让学生感悟点到直线的线段中，垂直线段最短。  三、由具体到抽象，再从抽象回到具体，在具体中体会点到 直线的距离最短。	一、从生活情境中引入相交的直线。  二、对两条直线不同的相交进行分类开始，让学生在分类归纳中理解垂直是相交中的夹角都是直角的情况。 三、从具体到抽象，再在抽象讨论中加深对垂线概念的理解。

对比这一课时的不同版本教材内容，它们都是注重从具体到抽象，从生活情境或者操作情境中引入两条直线的位置关系，从而揭示垂线的概念。苏教版是直接让学生从生活情境中感知两条直线互相垂直的情况引入垂线的概念。人教版是从两条直线的位置关系进行分类，得出平行和相交两个概念，再揭示垂线的概念。而北师大版和青岛版则是先引入两条直线相交的概念，再揭示垂线的概念，其中北师大版是直接从相交的概念引入互相垂直的情况，青岛版则把两条直线相交的情况让学生分类，感知互相垂直是其中的一种情况。比较几种教材版本的不同，我们课题组着力找寻本课题中的核心知识：相交、垂直、垂直线段、距离与数学思维结合的切入点，通过结构化任务驱动展开，把垂线的相关概念和两条直线的空间位置关系进行勾连，在大的知识背景下，通过纵向上的连续、关联、循环三个递进序列，横向上包括情境——活动——评价三个平行要素，构成一个有机整体。

二、学情调研，探清结构化教学中学生学习的最近发展区

要想通过结构化教学帮助学生建构抽象空间中的两条直线的位置关系，进而感悟相交和垂直的概念，我们一定要清楚地了解学生的现有认知起点和认知水平，也要思考学生在教学中可能到达的发展水平，寻找学生的最近发展区，然后基于核心知识设计一系列发展高阶思维的问题，调动学生探索的积极性，最终超越最近发展区，培养学生的高阶思维能力。

课前的学情调查，我们发现学生已经有了直线的相关知识，对于生活中两条直线相交的现象也有感知，对互相垂直也有感悟。在学生的初步认知中认为，两条直线有交叉或不交叉，交叉就是学生认识相交的认知起点。但学生认为当时看到没有交叉的两条直线就是不交叉，不会运用直线的特征来想象，它们实际上也是交叉的（相交的)。而垂直和相交在学生的初始认知里，他们认为是不一样的两种情况，学生也不知道垂直，只能形容这是直直的交叉。其实垂直只是相交中的一种特殊情况。基于这些学情调研的收获，我们在设计教学时，充分让学生感知相交的若干中不同的情况，在不断的定格画面中抽象出互相垂直的概念。

三、学材开发，优化结构化任务的背景资源

本节课中，由于苏教版教材内容是直接从生活情境中，抽象出互相垂直的两条直线，接着引入垂线的概念。但基于学生空间观念的整体架构，我们在设计时对于相交和平行这两个概念，在什么阶段适合让学生去感知有一些疑惑。但在整合苏教版教材和其他教材的相通之处后，我们基于生活情境抽象出互相垂直的三组直线，按苏教版教材的安排引入垂线的概念，接着进行学材开发，把垂线纳入两条直线相交的空间范畴里，建构动态模型，激活学生想象空间。对练习题进行优化和深度开发，通过各种变式的折纸，不断拓展学生的空间观念。

四、学程设计，探索结构化任务的关联与循环

【教学目标：】

1.学生在现实情境中体验两条直线的垂直关系，理解互相垂直、垂线、垂足和点到直线的距离。

2.学生在观察、画图、测量、比较等活动中经历认识垂线的过程，进一步发展空间观念。

3.学生积极参与观察、操作等学习活动，感受数学与生活的关系，积累相关的数学活动经验。

【教学重点】建立垂直的概念。

【教学难点】理解点到直线的距离。

【教学过程】

（一）创设情境，连续旧知。 

1.谈话：同学们，图中你看到了什么？这是我们前面学过的内容，今天我们将继 续走进线的世界。

2.出示主题图，师：从这些图中，你能用手势比划你找到的线吗？这些都可以看

作直线。

3. 根据学生比划，从三幅情景图中描画三组直线。

（二）探索发现，认识垂线

1.认识相交

（1）初步探索，寻找异同：

师：观察一下描下来的三组直线，他们有什么相同点和不同点？ 预设：每组直线都交叉的。

明确：两条直线交叉，就是两条直线“相交”。

师：这三组相交的直线还有什么共同点？

 

预设：他们都相交于一点。预设：每组两条直线都相交成4个角。

师：那它们有什么不同的地方吗？

预设：角的大小不一样，有的是两个锐角，两个钝角。有的四个角都是直角。

师：你有什么好办法来证明？有人没量四个角也知道4个角都是直角啊？ 预设：只测量一个角，也可以得到另外三个角，先量出一个角是直角，再算一算。 小结：当两条直线相交组成了四个角，我们只要知道一个角是直角，就可以确定其他三个角都是直角了。

小结：看来，两条直线相交得到的4个角，有时是2个锐角2个直角，有时是4个直角。

（2）丰富例证，加深不同相交的印象：

师：这些发现是我们仅仅观察这三组直线得到的，那其他2条直线相交是不是也是这样的呢？这两条直线相交吗？四个角是什么样的角？

师：（将其中一条红色直线旋转）现在还相交吗？四个角呢？

（继续旋转）还相交吗？四个角是什么样的角？想象一下，再继续这样绕交点旋转下去…再旋转…

师：想想他们相交成的角，结合前面的观察和想象，你觉得两条直线相交所形成的4个角，你有什么想说的吗？预设：要么是两个锐角两个钝角，要么是四个直角。

师：根据他说的，我们可以把两条直线相交的情况，分成几类？

师：今天我们就从这两种情况里，挑一种来重点研究——垂直

2.认识垂线：

（1）认识垂直：

师：结合画面介绍互相垂直，以及垂足，指导垂线的相对说法。

揭题：今天我们就来认识垂线

（2）介绍垂线：

如果这两条直线分别称为a和b，那么我们可以说：直线a 和直线 b 互相垂直，也可以这样说：直线a是直线b的垂线或者——直线b是直线a的垂线。

方向变式：（指着斜放的垂线）这两条直线互相垂直吗？方向位置不一样了，为什么他们也是互相垂直的？你能和刚才一样来说说这两条直线的位置关系吗？

小结：互相垂直，是指两条直线的位置关系。一定要说清楚，谁是谁的垂线。

变式辨析：第一组和第二组独立完成。第三组追问：同样是两条直线，为什么刚刚你们大多数人都判断错啊？我们刚刚看到的，只是这两条直线的一部分，会引起我们的错觉。看来，以后我们在观察时，不光要关注我们看到的部分，还要展开我们的想象。

小结：看来，要判断两条直线是否互相垂直，关键是看什么？刚刚我们从相交的两条直线开始，知道了只要两条直线相交成直角，这两条直线就互相垂直，垂直和相交之间有什么关系呢？预设：两条直线互相垂直是两条直线相交中的一种特殊情况。

（3）图形中的垂直现象：

垂直现象在平面图形中很常见，看下面的图形中，哪些线段是互相垂直的？

（4））寻找身边垂直例子：

师先示范指画框上的互相垂直的两条边。再让学生找到生活中互相垂直的例子。

（三）情境出发 认识距离

1.情境引入：

（1）王大爷准备穿过马路到对面的菜园去，王大爷站的位置叫做点P，想一想，他可能会怎么走？有不同的行走路线吗？

（2）这样的路线画的完吗？如果你是王大爷，在安全的时间里最快的过马路，你会选择哪条路线？为什么选这一条？你们认为这条线段最短，怎么证明呢？ 小结：经过测量发现，在这些线段中，它是最短的。

（3）还有什么方法验证？预设：比一比。

介绍实验法，出示教具，接下来进入“实验大求真”

教师拨动教具，学生看到除了垂直线段其他情况够不着这条直线了。

（4）经过点P你还能画出这样的垂直线段吗？

小结：经过点P,这条垂直线段是唯一的一条，也是最短的一条。

2.认识距离： 

师：我们把这条垂直线段的长度，叫做点 P 到这条直线的距离。你能量出点 P到这条直线的距离是多少厘米吗？

3.练一练：

师引导提醒学生怎样找点A到已知直线的垂直线段？标上直角标记。

小结：看来，要想知道直线外一点到直线的距离，关键是要先找到点到直线的——垂直线段。

4.练习：王大爷发现菜地要浇水，想回家拿水桶，家在草地的那一边，王大爷现在从C点走到草地对面去，他选哪条路线最短呢？

师：为什么看中它？

小结：点到直线的所有连线中，垂直线段最短。

5.距离的生活运用：

生活中有很多地方运用到与垂直有关的知识呢。你知道为什么这样测量跳远成绩吗？我们测量身高的时候为什么要这样量呢？

6.折纸体验垂线：

（1）第一次折。给你一张正方形，你能动手创造出垂线吗？互动追问：你是怎 么折的，介绍一下哪里指一指。指一指，验证一下。还有别的折法吗？

小结：无论哪种对折方法，折出的两条折痕是什么关系？

这个两条折痕的交点是这两条直线的垂足，把它点出来就叫点A。

师：你觉得这个A点，它处于正方形的什么位置？（预设：它在最中心的位置） 追问：你有什么方法证明吗？（预设：除了它到四个顶点的距离是相等的（量或 折课前复习），它到四条边的距离呢？怎么证明呢？

追问：你量哪条线段的长度?量这几条线段的长就是点到四条边的距离，那它到 其他边的距离，分别量哪一条呢？

（2）第二次折，老师已经折出一条折痕了，你还能在这张纸上折出与老师这条 折痕互相垂 直的折痕吗？

（3）第三次折，把一张长方形纸边缘任意撕碎，成不规则形状，你还能折出互 相垂直的线段吗？

（4）第四次折，还是这张不规则的纸，还是这条老师折的折痕，除了刚刚你们 折的这一条，还能折出其他与它互相垂直的线段吗？

 观察：这些刚刚折出的与老师这条折痕互相的垂直无数条折痕，他们相交吗？ 师小结：没有，看来两条直线的位置关系，除了相交，还有这种不相交的位置关系。结合我们前面的内容，你有什么想说的吗？这样不相交的位置关系，以后我们会继续研究它的知识。

（四）全课回顾 总结收获

 同学们今天这节课，你们有什么收获？

五、学评调节：推进深度思考的再发生

将培养高阶思维作为学生学习的目标区域，学生将经历更复杂的思维过程。教师应该深挖教材，设立高阶思维点，准确把握高阶学习问题情境或任务的设计，以问题展开打开学生的思路，培养学生用批判性思维和创造性思维来分析问题，寻找解决问题的途径。本课中通过几个重要情境的设计，引导学生在情境中寻找联结、批判反思、作出判断、形成结构、进行循环，帮助学生一步一步建立空间观念中两条直线的位置关系，在大的知识背景中深刻理解垂线的概念和与之相关的核心知识。

具体来说，培养学生的高阶思维能力，体现在本课中四个层次的设计。

第一层次，建构动态模型，激活想象空间。学生先通过观察生活情境中抽象出的三组相交的直线，发现有的时候两条直线相交成4个直角，有的时候是两个锐角两个钝角，这只是基于观察三组直线的初步感知。为了丰富例证，更好的让学生感知空间观念中两条直线相交各种可能的情况，帮助学生建立比较完整的空间视域。我们设计通过“聚光灯”聚焦两条直线，并依次让一条直线不动，另一条直线转动，在转动中不断地定格画面，让学生观察截取到的各种情况，足够多的例证下，再激发学生的想象，让学生不断地在想象中旋转两条直线。通过充分地观察和想象，追问：两条直线相交后形成的角有多少种情况？学生答无数种，这无数种情况可以分为几类？学生能自然发现只有两种情况，要么是两个锐角两个钝角，要么是4个直角。

第二层次，借助实验操作，感知几何特征。为了让学生深刻感知直线外一点到直线的所有线段中垂直线段最短，除了教材上指导的可以通过测量得出，我们更希望结合初中几何中的动点原理，让学生在更高的思维领域里感知点、线、面，培养学生的空间观念和想象能力。因此，在问题情境中要验证这条垂直线段的确是所有线段中最短的一条，提问：除了测量，还有什么好方法？学生会想到比一

 

 

 

比，但学生也明白，能够和垂直线段比的那些线段终究是画出来的若干根，那些没画出来的怎么比呢？这个叩击灵魂的追问，伴随着“实验大求真”的操作，真相大白。

第三层次，凭借变式折纸，积累空间观念。在学生已经理解了垂线的概念和相关核心知识后，我们引导学生在“折一折，找一找”活动中创造垂线。第一次折互相垂直的折痕，学生会利用长方形的特征，容易折出。第二次折，教师先折一条折痕，让学生再折一条和老师的折痕互相垂直的折痕，学生前面的折纸经验已经不能用了，学生通过反思和探索，寻找已知直线的垂线。第三次在不规则图形中，自己折出互相垂直的折痕，基于前面的折纸经验，又高于前面的经验，学生一直在关联旧知中，不断突破旧知，寻找解决问题的方法。第四次折更是打开了学生空间想象的大门，创造性思维一旦被激发，就会发现这样的折痕有无数条，在观察这无数条新折痕的时候，老师问：这些折痕相交吗？与本课知识再度关联，也在知识的关联中形成了知识的循环。这些线段的位置关系是不相交的，直接激发学生的兴趣，拓展了平行的概念范畴。四次折纸操作，层次递进，是学生垂线知识的迁移运用，突出了知识内涵，也拓展了知识的外延，最后引发了学生自发的学习追求。

 认知理论认为，学习过程是认知结构形成、变化和完善的过程。而理解是认知结构的建构和知识意义的建构。只有当学生真正理解数学知识，会寻找知识之间的关联，尝试建构知识结构的过程中，才能渐渐体会到数学是一个有紧密内部联系的整体。在这个学习过程中，学生的批判思维，抽象思维，推理意识等高阶思维都能得到很好的发展。