数学概念建构的育人价值及其实现

——以《公因数和最大公因数》的教学为例

从知识价值论的表达与理解来看，知识的价值可分为两种：一是以知识的传授为目的、追求知识的学科性、学术性的学科价值；二是以学生的成长作为衡量标准的、追求知识对个人发展意义的育人价值。促进学生发展，是学科教学的终极价值追求，也是课程与教学改革的价值支柱。多少年来，“课堂教学是主渠道”的理念，确认了学科教学是学校教育最经常、最普遍的育人方式和育人途径。

结合郭元祥教授的学科育人理念，我理解的数学学科的“学科育人”体现在：构建“人—知”互动关系，促进学生与数学知识相遇，把数学知识引入学生生命，超越对象化学习，提升学生学习的意义感、自我感和效能感，让学习可见、让思维发生、让文化浸润，使数学学习的过程同时成为学生的科学认知、社会理解、文化认同、生命感悟的过程。

《公因数和最大公因数》是一节概念教学，数学概念是数学知识的基础，是数学思想与方法的载体，是数学学习的核心。数学概念的建构应重视概念的生成过程，把概念学习变成“学数学、做数学、用数学”的过程，应建立概念与学生发展、学习与学生发展的关系，追求学生在认知能力、情感品质、思想意识、生活方式等维度发生实质性的成长与优化。这一节课在概念建构的同时又在努力实现学科育人的价值。主要体现在以下几个方面。

一、注重“人”“知”相遇的创设，构筑儿童与世界的生动关联。

学科何以育人？其逻辑起点是构筑学生生命成长与学科之间的生动关联。“人——知”关系，是教学活动的基本关系，教学的根本目的不只是通过知识教学引导学生理解世界，更重要的是引导学生进入世界。数学知识与学生的生动相遇，是在教学过程中知识与学生相结合的一种状态，必然引起学生基于已有知识、经验和生活体验对知识的批判性理解、独立思考。 

本节课的所有素材都是基于对教材的理解，积极创设学生和数学知识的生动相遇情境，解决问题的需求更加“生本化”，更加吻合学生的认知现状和发展趋势，更有利于激发和引导学生探索、思考与交流，能够更好地实现数学学科的育人价值。

其一、结合学情对教材内容进行“生本化”的情境创设。《公因数和最大

公因数》的知识基础是《因数和倍数》，学生的认知基础是已经形成建立了两个数之间的因数和倍数的关系，倍数这个概念在三年级上册就接触过，会用谁是谁的几倍来表达两个数之间的关系，而因数的概念，学生并不知道什么时候，什么情境可以表达；进行前测时也发现学生仍旧会用边长之间是否能除尽来表达关系。于是，我们就设计了引入环节，用小正方形来铺大正方形，并且加入让学生帮忙选择装修材料的情境，创设了学生和因数生动相遇的情境，让学生快速进入探究状态，在选择材料时也立刻把目光集中于数学知识的本质，也就是思考小正方形和大正方形边长的关系，思考小正方形边长和长方形长、宽的关系。而且两次铺图形的设计中的数据也是为后面寻找公因数的特征埋下了伏笔，引入环节是1、2、3、6是6的所有因数，而例9的公因数也正好是1、2、3、6。

其二、基于教学难点对练习进行“生活化”的改编。

本节课的难点是应用公因数的知识来解决实际问题，既需要学生熟练掌握公

因数的含义和求法，更需要具有把实际问题转化为相应数学问题的智慧。选择贴近学生学习和生活的情境可为学生的转化提供支撑，所以蒋老师设计了帮助学校出出主意的两个生活问题：一是宜兴市学府路实验小学的品牌活动，计算寻访活动的每个小队的人数可以是多少？二是排队进行核算采样时，前后两个同学的间隔距离可以是多少米？一个是学生乐于参与的活动，一个是近阶段学生经常参与的核酸采样，一下子就构筑起儿童与世界的生动关联，激起了学生的解决欲望。

其三、基于儿童兴趣对集合图进行“游戏化”的设计。

教学用集合图表示8和12的因数和公因数时，呈现尚未填数的集合图时，

部分学生能理解每一个部分的含义，但是结合以往教学的经验，发现学生在填写集合图时，能完全正确填写的并不多，这就反映出没有真正理解韦恩图的各部分含义。于是蒋老师设计游戏：帮数找家，儿童与数学知识的联结生动而有意义。让学生自己来设计集合图，一次次的认知冲突中，学生能找到最佳的表达方式，因为是学生设计的，他们能清晰地理解5个部分的含义。并且领会到了数学的简洁美和图示化表征的方式。

二、 注重基于儿童认知的活动，发展儿童观察世界的数学眼光。

当儿童与数学知识生动相遇后，基于儿童认知的教学活动要充分表达出知识的多维属性，为意义而活动，为理解而活动，为生成而活动，更要在活动中寻找契机引导学生用数学的眼光观察世界，体会概念产生的过程，为后续相关知识积累活动经验。学科经验是系统的、连贯的、结构性的经验。零散的经验构不成学科素养，学科经验的生成过程是开放的，是面向真实问题、复杂情境和生活背景。

《公因数与最大公因数》这节课通过两次选择材料规格的活动，引导学生从中发现问题：有时能正好铺满，有时不能正好铺满；随即提出问题：为什么有时能正好铺满？有时不能正好铺满？进而分析问题和解决问题。提升学生“发现、提出、分析、解决问题的能力”是课程目标的核心要求。“发现、提出、分析、解决问题”也是数学活动的灵魂，本节课贯穿了新授教学与活动的始终。在本节课的这个过程中，让学生联系实际体会了因数和公因数的含义，为形成新的数学概念积累了感性认识，形成了问题解决的经验和体验，这些经验和体验，是解决实际问题的经历、过程和结果，是学生数学学习所达成的表现性学科素养，是知识与人相遇的实践性表达。老师在两个环节结束后也将这一系列过程进行回顾，以便学生形成连贯的过程，发展学生观察世界的数学眼光。

三、 注重经历直观中抽象的过程，感受数形结合思想。

数和形作为数学的两个基本对象，是现实世界中数量与空间形式的反映。数的认识往往离不开图，在小学数学教学中，要尽可能为学生提供关于概念的直观性理解，这些直观形象有助于直觉思维和数学概念的形成。教材的意图也是非常明显，通过操作活动来引导学生具体感知正方形边长与长方形长、宽之间的关系，并结合具体的例子直观描述公因数的含义。如何引导学生在直观中理解，直观中抽象，就需要设计好两次活动的主环节和主问题，课件设计也需借助图形直观看出数与数之间的关系。

引入部分的小正方形铺大正方形，相比例9，思考比较单一，便于学生通过观察、分析发现问题的结果，从中体会到如果边长存在因数和倍数关系，就能正好铺满。所以引入部分设计时主要是2个环节，分别是：一、“想象铺”；二、为什么一下子想到边长1米、2米、3米、6米的正方形能正好铺满呢？”学生边汇报老师边展示课件中的铺图形，铺完一个小正方形，就标好一个边长的数，清楚地表达了每一种小正方形与大正方形边长之间的关系，这样带着数的动态展示和系列的除法算式，一下子唤醒了学生的因数知识。这样的认识可以使例9学习时得到启示和迁移，方便在例9这样复杂一些的情境中，形成相关的认识。

因为例9复杂了，在教学时放慢节奏，允许有困难的学生在研究单上边操作边思考。例9跟引入部分的设计相似，只不过把选择能正好铺满的小正方形分成了2次，先在边长4分米和5分米的小正方形里的选择，再想到还有哪些也能正好铺满？也就是让学生先初步感知小正方形边长与长方形长、宽的关系，再利用感知寻找其他的答案。事实证明，这样的设计遵循了学生的认知规律的，也是比较成功的，学生一下子能找到边长3分米、2分米、1分米的小正方形也能铺满。追问学生“3分米，你是怎么想到的？”学生已经会用“3是18的因数，3也是12的因数”来描述关系了。这就意味着学生从应该同时是12和18的因数的角度思考了，获得了对公有因数的体验。由此再概括出12和18的公因数，并联系反例，完善公因数的概念。这样的过程，是让学生经历具体感知、体验，依据具体事实逐步抽象、概括的过程，有利于学生理解并建立公因数的概念，并感受到了数形结合的思想。

四、 注重知识的结构化建构，促进知识向数学素养转化。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》课程标准相信大家都已经见到了他的庐山真面目，新课标在课程理念、目标和内容等方面都有了明显变化，其中课程内容的结构化是重要理念，蒋老师的这节《公因数和最大公因数》也展示了内容的结构化，并且在板书时还体现了概念的图示结构，这样的结构化能凸显内容的关联，有助于学生对于数学知识的整体建构；这样的结构化有助知识与方法的迁移，在课堂中学生的表现和概念的形成已经充分说明；这样的结构化还能促进核心素养的形成，培养学生的抽象能力，逐步养成学生用数学的眼光观察世界的意识和习惯。整节课从3个方面体现了结构化设计。

1.公因数概念的建构过程，实现了知识和研究方法的迁移。

两个数的公因数的知识，要建立在一个数的因数和倍数的基础上，尽管公因数和公倍数是不同的概念，但是有相同的研究方式和概念建构的模式，两次的铺图形活动，把“因数”和“公因数”高度关联，先引导学生回顾已有概念的属性，再创设联系已有相似概念的情境，引导学生利用直觉类比方法获得发现，并尝试给出新概念的定义。遵循了概念形成的一条原理：适当改变已有概念的内涵，能产生新的概念，还把相关知识进行了结构化的呈现。实现了知识和方法的迁移，学生水到渠成的产生了新概念。

2.追问公因数特征的发现过程，有助于学生发展推理能力。

在引导学生发现公因数的3个特征的过程中，虽然没有明显的结构化的设计，但是在学生发现“每组都有公因数1”时，老师追问：为什么会想到都有公因数1的呢？学生立刻联想到了“1能被除0外的所有数整除”，就是联想到了因数的特征，老师没有立刻引导在因数的特征和公因数的特征之间建立联系，而是在学生发现“每组的公因数的个数是有限的”时，继续追问：为什么会想到的呢？逐步让学生根据因数的特征推理出公因数的特征。隐含的结构化设计，让学生意识到相关知识的特征也可以产生紧密的关联，根据核心概念的特征能推理出相关概念的特征。

3.图示化板书的动态形成，实现了知识的结构化。

板书设计一改以往数、文表达的形式，首先从引入部分的因数概念的表征就用学生已经接触过的因数的图示，再迁移到公因数产生过程的图示；因数、公因数和最大公因数之间的关系和关联，以及加入倍数后，几个概念之间的关联，都一一动态展示了出来，这样的动态展示，也体现了儿童思维的过程，实现了知识的结构化，能给学生留下深刻的印象，构建单元知识的整体性认知。

内容结构化使得零散的内容通过核心概念“因数和倍数”建立关联，使具体内容的学习不再单一而碎片化，而是强调在具体内容中体现基本原理的核心概念的理解和运用。核心概念是可以把领域或主题内，甚至跨越不同领域、不同主题的更为基本的概念、方法和问题联系起来的具有支配性的概念，是促进有意义的、联系紧密的知识的一个实用而强大的工具。以核心概念为线索的教学内容结构化，有助于教学者更好地把握课程内容的本质，也只有在具有结构化特征的内容主题中，核心概念才有可能得到凸显，发挥引领、深化的作用，带来持续发展，也带来学生的数学学习的发展性。

在新课标颁布之后，数学课堂教学必将迎来新一轮的研究热潮，作为一线教学工作者的我们，既要“前瞻后顾”，也要“东张西望”，更要“凝视当下”。引导学生从自觉、自主走向自为，进而实现基础学力的发展、学科素养的提升、健全人格的形成，这符合数学学科的本质特性和儿童数学学习的规律，儿童的数学素养也能真正形成，数学教育的育人价值也能真正得以实现。