教学内容：苏教版《义务教育教科书·数学》五年级上册第108-109页。

教学目标：

1、使学生在观察、猜测、验证等活动中自主探索钉子板上相关钉子数和多边形面积之间的关系,会用含有字母的式子表示发现的规律。

2、使学生经历探索规律的过程,自主发现生成合理的探索策略，拓宽观察问题的视角,体会函数、类比、归纳等数学思想方法,感悟发现问题、提出问题的过程。

3、使学生在探索活动中进一步丰富情感体验,培养科学探究的精神,激发学习的数学的兴趣。

教学重点：探索多边形的面积与边上钉子数、内部钉子数之间的关系。

教学难点：在具体情境中调整、明晰探索策略,体会数学研究的一般方法。

教学过程：

一、问题引领,孕伏思想

1、出示钉子板。

师：同学们,这是什么?

生：钉子板。

师：用橡皮筋可以在钉子板上围成很多不同的多边形,今天这节课我们就一起来研究钉子板上的多边形。为了研究方便,我们用点子图来代替钉子板,一个点，就相当于一枚钉子,每相邻两枚钉子之间的距离都是1厘米,相邻的四个点就可以围成一个面积是——1平方厘米的正方形。（显示围一个正方形里面有浅浅色块）

2、求多边形面积

师：先来围一个正方形，它的面积是多少？你是怎么得到的？

预设1：算。

师：除了用面积公式计算，你还有其他的办法吗？

预设2 ：是的，我们还能用数的方法。一共4个小方格，所以面积是4平方厘米。

师：再来围3个多边形。（逐个显示）

师：你能很快得出它们的面积吗?

师：分别是4,6.5,6平方厘米。

3、提出猜想
师：这几个多边形形状各异，面积也有大有小，想一想钉子板上多边形的面积可能与什么有关？

通过同学们的观察，发现钉子板上多边形的面积与两个因素有关，一个是边上钉子数，一个是内部钉子数，到底有怎样的关系呢？

师：我们先一起数一数每个多边形边上和内部的钉子数。

师：观察表格, 多边形的面积到底与钉子数有怎么样的关系呢？你能找到什么规律吗?请同学们独立思考后同桌讨论。

小结：边上的钉子数和内部的钉子数都在不断地变化,看来这个规律不太好找。

追问：有什么好办法呢？

二、思想引领,生成策略

（一）研究内部钉子数为1。

1、提出猜想

师：科学研究的过程向来都是艰辛的,同学们不必灰心,让我们回到原点再去重新审视一下上面的问题。在这里,多边形的面积可能受到边上钉子数和内部钉子数两个因素的影响，到底该怎样入手呢？也许,美国著名数学家舍费尔德先生的一句话能带给我们一些启迪!

出示：固定其他因素,只让某一个量变化,从而得到问题的结果。

师：如果先固定内部钉子数，你们打算从内部钉子数是几枚的情况开始研究？

师：真不错，都知道碰到复杂问题要从简单入手，那今天,我们的研究就从多边形内部钉子数为1的情况开始。

师：看！这些多边形内部钉子数都是1。你能借助这些图形来研究多边形的面积与它边上钉子数的关系吗？请同学们在作业纸上，数一数、算一算、填一填，看看能有什么发现？

师：先一起来校对数据。都填对了吗？观察上表，你有什么发现？

明确：当内部的钉子数都为1时,多边形的面积等于边上的钉子数除以2。

2、进行验证。

师：那是不是所有内部钉子数为1的多边形都有这样的规律呢?请同学们在点子图上再画一个内部钉子数是1的多边形进行验证，看看符不符合规律。

师：你们画的多边形符合这条规律吗？有不符合的吗？看来，我们发现的规律是正确的。

师：如果用S表示多边形的面积,n表示边上的钉子数,a表示内部的钉子数,你能用字母表示发现的规律吗?

生：当a=1时,S=n÷2。

（二）研究内部钉子数为2。

1、收集数据，提出猜想。

师：研究了内部钉子数为1的情况，接下来我们该研究.....

师：真不错，这些多边形内部钉子数都是2。拿出作业纸开始探究吧！

先来帮助老师把表格填写完整。

师：当a=2时，S和n又有怎么样的关系呢？把你的发现和组员说一说。

当a=2时，S=n÷2+1。

2、进行验证

师：是不是所有内部钉子数是2的多边形都符合规律呢？我们还要再来几个验证！开始吧！

小结：现在可以打消这个疑问了。

（三）自主探究，小组合作。

师：研究了内部为1枚、2枚钉子的情况,你觉得现在该研究什么了?

生：多边形内部为3枚、4枚、5枚钉子的情况。

师：数学学习,到任何时候,请不要忘记最特殊的情况。                 

生：还要研究内部钉子数为0的情况。

师：你能根据内部钉子数是1枚、2枚的情况，先推想一下,当内部的钉子为3枚、4枚或0枚时,多边形的面积与边上的钉子数又有怎样的关系?

生1：当a=3时,S=n÷2+2。

生2：当a=4时,S=n÷2+3。

生3：当a=0时,S=n÷2-1。

师：这仅仅是同学们的猜想,到底对不对，我们还需要验证。请大家小组合作,按下面的要求进行验证。

小组合作：

(1)选择：请选择本小组要验证的多边形内部钉子是3枚、4枚还是0枚。

(2)画图：小组内每一个成员在个人研究单上画出一个符合要求的多边形。

(3)填表：把自己的数据汇报组长，组长收集后并填入表格。

(4)验证：用表格内的数据验证猜想,并在小组内讨论、交流,完成小组研究单。

师：明确要求了吗？开始你们的探究吧。

通过小组探究，我们发现了：

生1：当a=3时,S=n÷2+2。

生2：当a=4时,S=n÷2+3。

生3：当a=0时,S=n÷2-1。

你们猜对了吗？

（四）概括规律

师：我们从简单的情况开始,研究了多边形内部的钉子分别为1枚、2枚、3枚、4枚、0枚时,边上的钉子数和多边形的面积之间的关系，像这样写下去,写得完吗?

师：这么多条规律又显得太复杂了，你能用一个式子就表示出多边形的面积与边上的钉子数、内部的钉子数之间的关系吗?请在小组里讨论。

得出：S=n÷2+a-1。

它表示的含义是：多边形的面积等于边上钉子数除以2加上内部钉子数再减1。

师：同学们的发现正是奥地利数学家乔治·皮克在1899年发现的规律,这个规律也叫“皮克定理”,你们可真厉害，和数学家的发现不谋而合！

四、规律引领，激疑生趣。

1、运用规律

师：老师还围了一个多边形。它的面积是多少呢？

明确：这个图形在钉子板上，直接用皮克定理解决更简单。

2、全课小结

师：今天这节课我们探索发现了什么规律?

师：我们是怎样发现这一规律的?我们先发现了问题...再提出了一些猜想...接着我们进行了验证...我们通过个人和小组研究结合的方式，最后概括得到了规律。看，我们不仅学到了知识，还掌握了探究的方法。

3、观察比较

师：同学们，这节课，我们借助整理在表格中的数据横向观察发现了皮克定理，如果我们纵向观察呢？是不是还会有新的发现？

看，顾老师收集同学们的数据，整理出了3张表格。纵向观察，你有什么发现？

先看第一张表格，什么不变，什么在变，怎么变的？第二张呢？第三张呢？

也就是说：当内部钉子数不变，边上钉子数增加1，面积增加0.5平方厘米。

其实，我们还可以借助图来瞧瞧是不是这样呢？就以内部钉子数是0为例。从三角形到小正方形，边上钉子数增加了...面积增加了....继续，边上钉子数又增加1，面积又增加0.5。

这或许就是皮克定理中为什么边上钉子数要除以2的原因吧！            

师：如果我们换一个角度，当边上钉子数不变，内部钉子数和多边形的面积又有怎样的关系呢？感兴趣的同学可以课后去思考。科学研究是永无止境的。换个角度看看也许又会有新的思考与发现！   

4、全课总结

课上到这了，来谈谈这节课同学们的收获吧。

评价：你学到了知识。你还掌握了方法。

今天我们探索了这个规律，或许不久以后我们可能会忘掉这个规律，但是只要有探究的决心和方法，合作的能力和精神，我们就能够有更大的能力去研究数学的更多奥秘。