以核心概念为线索的“结构化”教学

——以《公因数和最大公因数》的教学为例

宜兴市实验小学  蒋碧云

将学科内容恰当地组织起来，进而形成适应学生理解和迁移的知识结构，避免学生简单孤立地学习知识与方法，使其在学习过程中建立起合理的结构体系，这是2022版《义务教育数学课程标准》课程内容结构化的基本理念。在现有教材的基础上实施这一基本理念，需要教师对一类知识体系进行学术解构，即从数学学科理论角度对概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析[1]，并从中确定核心概念。围绕核心概念建构一个概念的结构体系，在体系中进行所教概念的教学解构，尝试“结构化教学”，即以核心概念为线索对所教概念的教育形成和教学表达进行分析，重点放在概念的发生、发展、建构过程的分析上，并扩展到相关概念的联结，最终形成以核心概念为线索的“结构化”教学设计。

以苏教版五年级下册的《公因数和最大公因数》为例，这一单元的核心概念是“因数和倍数”，相关联的概念有“公倍数和最小公倍数”，本课就以“因数”为线索展开“结构化”教学，从情境的创设、学生研究的视角、探究方式的迁移、概念的建构、板书的设计、评价的角度6个方面展开。

一、创设连续情境，积累结构化学习经验。

以核心概念“因数”为线索的教学，教师可先分析“公因数”概念特性的基础，选择与两个概念都相关的素材，设计连续的问题情境。通过情境唤醒“因数”的学习经验，再引导学生从解决实际问题的视角到研究知识的视角中经历“公因数”概念发生发展的过程，自觉形成“公因数”的学习经验，进而解决问题。使学生感悟根据具体问题的需要改变研究视角，根据核心概念的学习经验生成新概念的学习经验，积累了系统的、连续的学习经验。

师：电视背景墙是个边长6米的正方形。用这6种规格的正方形大理石来铺，为了便于研究，背景墙看作大正方形，大理石看作小正方形。哪种能将背景墙正好铺满呢？想一想，也可以在心里算一算。

结合学生的交流，课件上边铺边动态标数据。

生1：边长1米的。

师：请介绍一下怎么铺？

生1：边长6米的每行可以容下6个边长1米的大理石，可以摆6行。

    师：每行6个，可以摆6行，你这个6是怎么算出来的？

    生1：6÷1=6。

    师：同意吗？好的，边长1米的正好铺满，还有吗？

    生2：还有边长2米的大理石也可以铺满。

    师：来看看吧，你来介绍。

    生2：边长6米的每行可以容下3个边长1米的大理石，可以摆3行。

师：这个3是怎么算出来的？

    生2：6÷2=3。

    师：还有吗？

    生3：边长6米的每行可以容下2个边长3米的大理石，可以摆2行。

    6÷3=2。

    师：还有吗？

    生4：边长6米的大理石。

生（齐）：6÷6=1。

师：想到这4个答案的请举手。

教学例9

 

 

 

 

 

师：哪种砖能将长方形背景墙正好铺满呢？为了便于研究，我们把背景墙看做长方形，玻璃砖看做小正方形，哪种正方形能将长方形铺满呢？ 同学们可以想一想、算一算，有困难的也可以借助手中的学具在研究单上直接铺一铺或画一画。四人小组开始吧。

生1：边长6分米的正方形能正好铺满。

师：你是怎样想的呢？

生1：每行铺3个，铺了2行。

师：你是怎么算的？

生1：18÷6=3，12÷6=2。

师：铺满了吗？是这样想的同学请举手。边长4分米的呢？ 

生2：不能正好铺满。

师：你是怎么想的？

生2：可以铺3排，但是每排铺4个，还有剩余。

师：用算式怎么表示？

生2：12÷4=3，18÷4=4……2，每排铺4个，还余2分米。

师：有剩余，所以不能正好铺满。还有哪些边长是整分米数的正方形彩色玻璃砖也能把这个长方形正好铺满？

生1：边长是1分米的正方形。

师：你是怎么想到的？

生1：因为18÷1=18，12÷1=12，两条边都能整除。

师：他想到了边长1分米的，你们还能想到？

生2：3分米。18÷3=6，12÷3=4，3是18和12的因数。

生3：2分米。18÷2=9，12÷2=6，每行铺9个，可以铺6行。

 

 

 

 

 

二、体会活动感受，助力结构化活动方式。

在积累系统的、结构化经验的同时，基于儿童认知的教学活动要充分表达出知识的多维属性，为意义而活动，为生成而活动，为理解而活动，更要在每次活动中寻找契机引导学生用数学的眼光观察世界，两次铺图形活动结束后让学生充分感受和归纳选材料的过程或者步骤，形成解决问题的结构化探究方式，为后续相关知识的探究做好铺垫。结构化探究方式是解决实际问题的经历、过程和结果，是学生通过数学活动所达成的表现性学科素养。

师：同学们，回顾刚刚的学习过程，我们进行了两次铺图形的活动，你经历了哪些过程，有什么感受呢？

生：在铺图形时我们先发现了问题；接着提出问题：为什么有时能正好铺满?有时不能正好铺满？

师：然后又是怎样分析和解决问题的呢?

生：我们观察了小正方形的边长和要铺图形的边长之间的关系，发现当小正方形铺大正方形时，只要小正方形边长是大正方形边长的因数时能正好铺满；当小正方形铺大长方形时，只要小正方形边长是大长方形长和宽的公因数时能正好铺满。

师小结：“发现、提出、分析、解决问题”是数学学习的一种能力，在整个解决问题的过程中，我们发现了公因数这个新知识，新的数学知识往往就要在这样研究过程中发现。

 

 

 

 

 

 

 

三、展示概念关联，实现结构化概念建构。

两次铺图形活动，把“因数”和“公因数”高度关联，先引导学生回顾已有概念的属性，再联系情境，引导学生利用直觉类比方法获得发现，并尝试给出新概念的定义。遵循了概念形成的一条原理：适当改变已有概念的内涵，能产生新的概念，且实现了概念的结构化建构。再结合板书动态体现了概念的结构化，这样的结构化能凸显内容的关联，有助于学生对于数学知识的整体建构；这样的结构化还能促进核心素养的形成，培养学生的抽象能力，逐步养成学生用数学的眼光观察世界的意识和习惯。

1.第一次铺图形后，并结合学生的回答板书。

师：都想到了！你们怎么一下子想到边长1米、2米、3米、6米的正方形能正好铺满的呢？

生：因为1、2、3、6都是6的因数。

师：同意吗？我们一起来看一下。从式子中可以看出，只要边长的米数是6的因数就能正好铺满。真会总结，结合了已经学过的因数的知识来解释。

师：为什么不选4米、5米的呢？ 

生：因为4和5不是6的因数。

2.第二次铺图形后，并结合学生的回答板书。

师：为什么同样是用小正方形去铺长方形，边长1分米、2分米、3分米和6分米的正方形砖都能正好铺满？同桌可以交流一下你的想法。

生：因为1、2、3、6既是12的因数，又是18的因数。

师：要看能否正好铺满，我们只要看小正方形的边长。边长的分米数既是12的因数，又是18的因数，就能正好铺满。

师：同学们，你们觉得1、2、3、6它们会是12和18的什么呢？

生1：1、2、3、6是12和18的因数。

师：你们觉得这样说明确吗？有别的想法吗？

生2：1,2,3,6是12和18共同的因数。

师：嗯，这个词语用的挺好。还有更好的词语吗？

生3：公因数。

师：是的，在数学上，1,2,3,6既是12的因数，也是18的因数，它们是12和18的公因数。这就是今天这节课我们学习的第一个内容。

 

 

 

 

 

 

 

 

   3.全课总结:形成知识结构图。

师：我们一起来回顾一下（课件4副图：因数、公因数、求两个数的公因数、公因数的应用）今天的学习过程，你有哪些收获？

生1：我们认识了因数，公因数和最大公因数。

生2：我们学会了如何找公因数和最大公因数。

生3：还知道了1是除0外所有数的公因数。

师：你的发现比前面“每组数都有公因数1”还厉害呢！

师：学到了这么多的知识！今天我们研究了小正方形铺图形，如果要用小长方形铺正方形呢？哪种正好铺满？你会选择哪种呢？

生1：选第1种，因为3米和2米都是6米的因数。

师：是不是？那可以反过来说吗？6米是？

生2：6米是3米和2米的倍数。

师：是啊，两个数之间如果有因数的关系，就会有倍数的关系。其实看到倍数这个词，再联想到今天所学的知识，你又能联想到什么知识呢？

生：有没有两个数共同的倍数？

师：那叫什么呢？我也不能确定？有没有最大或者最小的呢？这就是我们下一节课要研究的内容。同学们可以试着用今天学到的方法先去研究一下。

    

 

 

 

 

 

 

 

四、 感悟关联思考，形成结构化学习评价。

评价不仅要关注学生学习结果，更要关注学生数学学习过程及思考方式，“结构化”教学不仅体现在知识、技能、经验和数学思想的形成过程中，也可体现在教师评价中的结构化引导，时时处处引导学生结构化思考。在公因数和最大公因数这个新知建构后，需要进一步完善知识的内涵，在数轴上先一一呈现3组数的公因数和最大公因数，再让学生发现，并用评价来引导。隐含的结构化评价，让学生意识到相关知识的特征也可以产生紧密的关联，根据核心概念的特征能推理出相关概念的特征。

 

师：我们在数轴上找到了15和25的公因数，前面两组数的公因数也表示在数轴上。

师：请同学们仔细观察，你能发现什么？

生1：每组都有公因数1。

师：为什么每组都有公因数1呢？你是怎么想到的？

生2：因为1可以被0除外的任何数整除。

师：也就是说1是所有数的因数，每两个数都有公因数1。掌声送给这位会联系因数特点的同学。

生3：两个数的公因数的个数是有限的。双数的因数都有2。

师：你是怎么想到两个数的公因数是有限的？

生：因为一个数因数的个数是有限的，所有两个数公因数的个数也是有限的。

师：嗯，结合因数的特点来思考的，是个会学数学的孩子。再请同学们观察每组最大公因数和它所有的因数，你们又有什么新的发现？（课件上公因数一对对地闪）

生1：每个数都有因数，而他最大的因数是他本身。

师：你介绍的是因数的特点。嗯，还有别的发现吗？

生2：最大的公因数是其他公因数的几倍。

师：是啊，还有这么有趣的关系的啊！1、2、3、6是最大公因数6的因数；1、5是最大公因数5的因数；1、2、4是最大公因数4的因数。

师小结：结合因数的特征，我们又发现了公因数这么多的特征。同学们，相关的数学知识联系起来想是不是有意想不到的收获呢！

数学概念的“结构化”教学使得零散的内容通过核心概念“因数”建立关联，使具体内容的学习不再单一而碎片化，而是强调在具体内容中体现基本原理的核心概念的理解和运用。以核心概念为线索的结构化教学，有助于教师更好地把握课程内容的本质，有助于学生系统的建构概念，带来学生数学学习的发展性，儿童的数学素养也能真正形成，数学教育的育人价值也能真正得以实现。

 

参考文献

[1]  刘超,王志军.论核心数学概念及其教学[J].高中数学教与学.2011(10)