教学环节

课堂体现

一、具身感知，搭建思维支架

 1、出示例题：计算+++。

 生1：先通分后计算。（全班无异议）

 师：那计算++++……+呢？你还打算先通分再计算吗？

 一石激起千层浪。

 生2：通分太麻烦了，必须另辟捷径了！

 2、小组讨论后交流：

 生3：我们采用画图方法，从简单问题入手，先研究了+++如图1，发现可发现可转化成1—，那++++……+就可以转化成1—。

  生4：我们在画图时发现，在表示最后1个分数时，会剩下和它相同的1个分数，所以求前几个分数的和，只要把1减去最后一个分数。

    在计算+++时，学生因为没有经验，所以首先想到的是通分计算，这符合学生的认知规律。但当后面继续要加到时，通分计算显然已行不通了，这时学生在认知上遇到了障碍。“遇到问题就画图”这个方法提醒了大家。于是从简单问题入手，发现求前几个分数的和，只要把1减去最后一个分数。

    画图的方法帮助大家解决了这个难题，也让学生具身感知了用图形可以帮助解决计算难题。

二、由“点”延“线”，体悟知识关联

 3、异中求同：

（1）计算1-------

  （2）计算++++

  （3）计算+++++

   生1：第（1）题，把图1继续分下去，发现就等于最后1个分数。

   生2：把图1继续分下去不难发现++++=-=。

   师：为什么不是把1去减去呢？  

   生3：因为不是从开始加的。

 师：的确，起始加数的改变，会引起减法算式的改变。

 生4：第(3)题，我们通过先画图（图2），发现可以转化成-。

 师：像这样后1个数都是前1个数的的一列数相加，我们可以称它为“”问题。这类“”问题到底可以转化成怎样的减法算式呢？我们把原式和转化后的式子进行比较：

   生5：我们发现了“”问题：++++……= ×2-

   这一部分安排了两个层面的内容，第一层面是异中求同，共安排了3道习题。

   第1题是把例题中的加法改成从1开始减；第2题是改变起始数，从开始加；第3题的加数都改变，3道题虽然从形式上都不相同，但在画图的过程中不难发现，其实他们具有一个共同特征，就是后一个分数都是前一个分数的，真正体现了形散神不散。学生在算式与图形的结合中、在变与不变的辨证中深切感知了“”问题的解决方法，真正体现了异中求同。

    4、同中求异 

师：“”问题是不是也具有这样的规律呢？

计算+++

生1：我们参照“”问题画法，“”问题是涂1个空白2个，涂1个空白2个……如图3，这样分下去，最后整个图形就是由2个“+++”加1个空白分数合成，从而可以得到+++=（1-）÷2。

三、由“线”拓“面”，揭示知识本质

    5、挖深水井  

师：同学们，通过画图我们解决了“”问题和“”问题，那“”问题、“”问题……是不是有相同的解题方法呢？

    小组讨论后反馈。

    生1：我们组研究了“”问题：计算+++，从图4可以看出整个图形就是由3个“+++”加1个空白分数合成，所以涂色部分等于（1-）÷3。

    生2：我们组研究了“”问题：从图5中直观可以看出整个图形是由4个“+++”加1个合成， 涂色部分等于（1-）÷4。

    生3：我们把“”问题、“”问题、“”问题和“”问题这些算式与图形结合进行比较，从而可以推出“”问题就等于（1-最后1个分数）÷5，“”问题就等于（1-最后1个分数）÷6。

   生4：也就是++++……=（1-）÷（a-1）

   师：同学们可真了不起！你们发现的就是当a为≥2的自然数时，关于几分之一的等比数列的求和公式。

第二层面是同中求异，重点解决后一个加数是前一个加数的，即“”问题。学生在画图的过程中又发现，它与“”问题画的图不一样，显然解决问题的方法也不一样，这时探究的热情显然已被激发。

这时“”问题、“”问题的探究已是呼之欲出了，学生自主以小组为单位进行研究。

在图与图的碰撞中，在式与形的比较中，同学们很快就得出了计算的方法，并找到了它们的其同点：

“”问题可以转化成（1-最后1个分数）÷3

“”问题可以转化成（1-最后1个分数）÷4，从而推算出“”问题可以转化成（1-最后1个分数）÷5，“”问题可以转化成（1-最后1个分数）÷6……，知识由点形成面。

“儿童的智慧都在指尖上。”当孩子们借助图形帮助解决这么繁琐的计算问题时，这种成功的喜悦是什么都比拟不了的。转化的策略在潜移默化中渗透到孩子们的心中，从而内化成数学思想，伴其学习一生。

四、由“面”架“体”，完善认知体系。

生5：老师，我们发现不光在分数中具有这样的问题，在整数里也同样具有这样的问题。

如：计算128+64+32+16+8+4+2+1，我们通过画图6发现128+64+32+16+8+4+2+1=128×2-1，符合“”问题计算规律。

生6：我们发现，如果把这个算式倒过来看，整数的计算就是把“1”不断累加，上述分数的计算就是在把“1”不断分割。

师：同学们的发现太棒了！你们从数的整体关系网中感受到了知识之间的联系。

数学知识的建构需要的是一个完整的体系。在画图的过程中，孩子们又发现分数中有这样的问题，整数中同样也有这样的问题，由面架体，完善了知识体系，让自己的数学研究又上了一个层面。