看副标题：教学路径一词。也就是平时老师们提到的教学环节，学习步骤。如何想到想到基于“数学理解层次”来谈教学路径的呢，要先我们校区的一节组内同课异构开始说起。

内容是五年级下册的《因数和倍数》。三位老师的课堂诠释了自己对教材的理解，但出现了同一个问题：让学生观察几组数因数的特征时，学生能发现“一个数最小的因数是1，最大的是它本身。”没有一个学生会发现“一个数因数的个数是有限的。？”究其原因，学生在发现归纳数学知识中的规律时，通常只关注表面，只关注看得见的知识。寻找对策，第四位老师在教学时调整观察的时机，先分别观察，再让学会同时观察几组数因数和几组数倍数的特征（如下图），强烈的对比，学生很容易就发现了“一个数因数的个数是有限的，一个数倍数的个数是无限的。”

   

 

 

 

有效调整说明视觉可强烈刺激学生大脑中的关联，有利于促进学生更深层的数学洞察力水平的提高，从而发现因数和倍数的本质特征，逐步形成对概念的数学理解。反观我们的数学课堂，虽已进入课改，但是却一味依赖原有教学路径，对于学生数学思考和理解层次的关注太少，对于顺应学生思维的设计太少，阻碍了课改的“初心”。

一、由表难及里：路径依赖阻碍教学的“初心”

1. 焦点错位    路径依赖：

课改至今，有些教学关注的焦点仍旧在知识层而不是思维层。“知识建构”和“问题解决”的思考过程往往是不可见，而且教师和学生都更多关注结果，忽视结果的生成过程。然而，学生思维的发展并不来自于“结果的累积”，而来自于“生成结果的思维方法和过程”。“结果的累积”只是增加学生的“感性答题经验”，而不能提高学生的“理性理解能力”，所以当题目或题型一变，学生便无法应对，因为“感性经验”对不上号了。长期以往，学生的思维形成路径依赖，只会就题论题，不善于洞察数学对象的本质属性及相互关系，不会根据具体情况灵活调整思考方向，更不要说能深度学习。

这样的数学思维从理解的层次来看只达到“单点结构水平”，这样的思维何谈广阔性、深刻性和灵活性，这样的儿童思维何谈发展。

2. 二元对立    思维低阶

从课堂现状看，与时俱进的教育者们开始关注学生的“学”，教学设计中体现了以生为本，但是这个“生”的面较狭窄，极少数的快速思维者成为课堂的主角，其他儿童则逐渐成为配角，这些配角的实质性主体学习鲜有实现，自主思考和自能学习的机会也较少，思维反应则是遇到新知时不善于系列的观察和思考，思维盲目、混乱，轻信他人的结论，感性思维超越理性思维，甚至由感性思维主导理性思维；当得出结论时也表现为缺乏检验的意向，不善于评价思路和方法，不善于回顾和反思。

这样的数学思维从理解的层次来看只达到“前结构水平”，儿童思维没有目的性、批判性和独创性，造成了大多数儿童的思维低阶。

二、他山之石：“SOLO”给予数学理解“新路径”

从过程视角来看：数学思考和理解作为一个过程是指个体运用已有知识、经验去认识未知事物的属性、联系，直至揭示其本质及其规律的思维过程。

曹培英认为，根据可观察的学习结果（SOLO分类评价法），可以将数学理解层次进行梯状刻画。如下图：

 

前结构 单点结构  多点结构  关联结构     拓展抽象

 

 

 

 

SOLO分类评价法是通过观察学生在解决某个具体问题时所表现出来的思维结构来间接测量学生的思维水平。

它根据学生的已有知识结构、学习的投入及学习策略等多方面的特征，从具体到抽象，从单维到多维，从组织的无序到有序，从而将学生的数学理解分为5个层次：前结构水平、单点结构水平、多点结构水平、关联结构水平和拓展抽象水平五种反应水平。

（上图中5点超链接到下面5点）前结构水平：学生对学习任务不能进行恰当的处理，只是重复问题，处于这一反应水平的学生还不能理解问题。

单点结构水平：学生能够提出与学习任务有关的一个方面，但在诸要素之间或思维之间没有联系，学生只能理解数学知识很少的一部分。

多点结构水平：学生能提出与学习任务有关的几个独立方面，或者能够理解任务的许多方面。但是，这些方面之间都不是相互关联的。

关联结构水平：学生能把相关的数学知识整合成一个前后一致的整体结构。

拓展抽象水平：学生能把连贯的整体概括或再概念化为一个抽象的更高水平。

    老师们可以发现，理解层次和思维水平是成正比例关系的，如果学生的数学理解到达关联结构水平和拓展抽象水平的层次，学生的思维也会进入高阶思维。

随着年级的升高，小学阶段的儿童数学理解层次并没有随之发展，始终停留在第一、第二阶段，各个年级的教育者们也只满足自己年级的数学教学任务的达成度，没有研究过儿童思维的特点，导致忽视了儿童数学理解的发展过程，影响了学生思维水平的系统生长。我校开展了相关课题的研究，在研究过程中，我们欣喜地发现了儿童思维在数学课堂教学中呈现出的一些特点：

    1. 儿童的复合思维具备无限“可能”。

    概念形成的一个主要方面是由思维的许多变式组成的，称之为复合思维。研究时发现，儿童不仅通过他的主观印象在心中把个别物体聚合起来，而且通过实际上存在于这些物体之间的联系把个别物体聚合起来，思维发展已经部分超越了自我中心主义。这样的复合思维是儿童数学理解的发展基础，这样的思维在数学学习过程中具备了无限种“可能”。

    2. 儿童的直觉思维奠定生长“方向”。

    小学阶段的儿童经常是凭借表象来进行思维，依靠这种思维，儿童能调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出假设、猜想或判断，采取了“跳跃式”的形式，却常能触及事物的本质。这时若顺应儿童的直觉思维特点，联系已有的知识体系，就可催生儿童的“数学理解”自由、自然生长。

    3. 儿童的思维过程显现独有“创造”。

实践证明：儿童在解决问题时或同化新知时显现出来的思维过程出乎意料，而且有时还会用图式来解释；当儿童的认知达到一定的程度，还会自发地给思维对象以恰当的符号，自由地对“思维的想象和创造物”进行研究。

给儿童的思维一个空间，他会还你一个抽象化、系统化的数学世界。依据数学理解层次的五种水平理论，学生在具体知识的学习过程中，都要经历一个从量变到质变的过程，每发生一次跃变，学生在对于这一种知识的认知就进入更高一级的阶段。而且前一种水平的发展是后一种水平发展的基础，因此学习者的学习经验和加工信息的能力影响学生数学理解能力的发展。实践证明，儿童思维的特点给予“数学理解层次”的教学路径可行的空间，而关注学生数学思考，关注学生思考过程，也就是我们课题提出的“思维可视化”可以让儿童的数学理解和思维能力在学习的过程中得到有效发展，同时会使学生对知识的理解更深入、更透彻、更系统，从而进入会学、乐学的良性循环。

三、合纵又连横 ：思维可视助力“新路径”系统生长

如何让儿童数学理解能力良好发展，根据学生的思考特点，笔者尝试在数学教学中运用“思维可视化”，以图示或者图示组合的方式把原本不可见的思维结构及规律、思考路径及方法呈现出来，系统性地从六个方面横向、分三个层次纵向梯状发展学生的数学理解能力。即让抽象知识图像化、知识建构直观化，促使学生的数学理解从单点结构向多点结构水平发展；让隐性知识显性化、解题规律模型化，促使学生的数学理解从多点结构向关联结构水平发展；让零散知识系统化、核心知识发散化，促使学生的数学理解从关联结构水平向拓展抽象水平发展（如下图：一步步出示，先大括号里的，再箭头加后面，最后六连横，三合纵）。儿童能主动参与到学习过程中来，逐步发展系统的数学理解能力，发展数学品质思维。

六连横

抽象知识图像化              

知识建构直观化

隐性知识显性化

解题规律模型化

零散知识系统化

核心知识发散化

一、路径整合：单点结构衍生出多点结构

根据数学理解层次，停留在第一、第二阶段的学生通常是找到了一个解决问题的思路，但却就此收敛，单凭一点论据就跳到答案上去，仅凭数学直觉在思考。要达到数学理解的第三阶段，需要学生找到多个解决问题的思路，并把这些思路通过某种方式整合起来，理解抽象知识，自主建构知识。通过思维可视寻找到联系各种思路的理想方式，运用直观去认识事物之间的共同属性和联系，由理解的单点结构水平衍生出多点结构，使学生的数学理解更深一个层次。

1. 抽象知识图像化

如教学苏教版二上《有余数的除法》。学生只有在“余数与除数之间关系”的“是什么”和“为什么”之间建立起恰当的数学理解，才有可能将其纳入自身的认知结构中。通过用小棒“实物操作”摆正方形，再想象中摆正方形，最后观察比较中追问余数所表示的意义。这一设计符合布鲁纳“三种操作”的认知理论，其中不摆小棒说13、14、15、16摆正方形的情况是一种“表象操作”，它是从“实物操作”到“符号操作”的中介。写出算式是“符号操作”，学生可用“观察余数法”、“操作结果法”、“想象推理法”三种路径相结合发现“余数比除数小”的规律。把抽象的知识图像化，以实物操作、表象操作、符号操作三种方式描述余数的由来从而形成多点结构水平的数学理解。

 

 

 

 

 

 

 

 

2. 知识建构直观化

如教学苏教版五下《分数的意义》。分数概念的抽象性与学生思维的形象性本就是一对非常突出的矛盾，要让学生理解并不容易，这时可利用板书的直观让学生充分地说一说例题中四组图形中分数所表示的含义，

使抽象的概念回归到具体实例中去。再让比较板书中几个分数含义中的共同特征，从直观和抽象两个路径提取概念的本质属性，让学生主动对各种数学材料进行观察、比较、分析和抽象，借助直观进行知识的建构，从而达到对分数意义的数学理解。

 

 

 

 

 

 

 

二、关联展示：“多点结构”飞跃成“关联结构”

    关联结构水平是指学生找到了多个解决问题的思路，并且能够把这些思路结合起来思考。当学生的理解能力到达了多点结构阶段，那么教师就可以借助一些关联来帮助学生把这些思路结合起来理解，挖掘知识的本质，把隐性知识显性化，把解题规律模型化，让学生从知识层深入到理解层，学生的理解水平也会从多点结构逐步发展成关联结构水平，大大提高学习力。

1. 隐性知识显性化

如苏教版四年级下册《多边形内角和》。当关注点到探索多边形的内角和与它边数的关系时，可以让学生用自己的方式来分五边形，学生的分法出乎意料（如下图），老师即可抓住机会让学生逐个说一说自己的想法和理由，交流中比较各种思路的优劣，把隐性的知识借助图用显性的图和算式表示出来，

并交流每种方法之间的关联点，用自己理解的方式表示所发现的规律。最后明确把“求内角和转化成求若干个三角形内角总和”这一关联点是解决问题的关键，并且从一个顶点来分三角形是最方便的,也是最容易计算的。在这个过程中所积累的经验，感悟到的类比、归纳的思想方法，让学生的理解能力从“多点结构”水平飞跃成“关联结构”水平，并发展了学生的问题意识和创新意识。

5×180°－360°=540°  4×180°－180°=540° 4×180°－180°=540°  3×180°=540°

2. 解题规律模型化

如复习苏教版三上《三位数乘两位数》。可让学生自己对两位数乘两位数的类型进行梳理，并让学生结合算理示意图来说一说“为什么要这样计算？”和“每一步算出的表示什么”，从算理图引出“两位数乘一位数”和“三位数乘两位数”甚至“多位数乘两位数”的计算方法，承前启后，用模型的方式突出笔算多位数乘多位数的算理之间的关联，来加深对知识的理解，强化对知识的记忆，形成特有的知识体系。如下图：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、图示表达：“关联结构”突破至“拓展抽象”

倡导“真实性教育”的格兰特·威金斯提出：我们是培养学生用表现展示理解能力的指导，而不是将自己的理解告知学生的讲述者。当学生的理解进入关联结构水平时，教师尝试以追问来突破理解，图示表达思维，思维路径随着问题的展开一步步呈现出来，在学习知识的同时进行思维共振。学生就能够对问题进行抽象的概括，用自己喜欢的方式来分析问题，而且能够深化问题，使问题本身的意义得到拓展。

1. 零散知识系统化：

苏教版五年级下册的《因数和倍数》、

《分数的意义和性质》

《分数的加法和减法》三个单元的知识点联系密切，学生学完三个单元后感觉概念较多且概念间的关系复杂、混乱，能力差的学生一头雾水，张冠李戴。这时可以借助图让学生抓住三个单元知识的横向、纵向的联系，厘清知识间的逻辑关系，自己形成特有的知识体系，使这些知识更具有系统性、整体性、逻辑性，培养学生的拓展抽象的理解水平。学生用自己喜欢的方式整理，出现以下两种图示。一种图一种逻辑，形成自己的知识体系，并会详细讲解自己的知识图，使其他同学对这三个单元的知识点之间的联系一目了然。

2. 核心知识发散化：

苏教版上册学习了《解决问题的的策略--列举》，策略不是无本之木、无源之水，都是在学生已有的经验上萌发的。列举尽管是在五年级教学，但学生早就进行过多次类似的体验，只是不知道那些体验和活动就叫列举，学习完两课时后即可让学生以列举为核心进行相关体验的发散，并形成发散图。唤醒已有经验让学生对列举策略有更多的体验，有更深的认识，在遇到相关练习时也可丰富发散图，使学生能逐步对正在学习的概念自主用图示进行建构，用自己的方式来处理问题。

如“一一列举”发散图中摆卡片一题（小明在一条长凳做摆卡片游戏，他用三种摆法都正好从板凳的一端摆到另一端而无剩余。已知卡片长18厘米，宽12厘米，板凳最短多少厘米？），少数学生运用了最小倍数的知识，大多数学生不知用何种策略来解决，当学生把此题与列举相关联时，就能创新使用这一核心知识，并将此核心知识进行发散，寻找与之相关联的实际生活中的问题，即根据三种摆法一一列举，特别是第三种难以想到的“一宽一长”法。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

构建可视化环境，利用思维可视化，以形象直观的图片和动态的展示、以人人可动手操作的活动让学生参与概念的形成过程，对逐步培养学生的思考能力、理解能力，提高学生的数学理解层次的效果是显而易见的，在这个过程中还培养了学生的几何直观和创新意识，让学生进入深度学习的状态，让学生的思维进入良性发展的循环之中。

参考文献：

1.《可见的学习与思维教学》   玛丽·凯·里琪

2.《追求理解的教学设计》  格兰特·威金斯

3.《学习质量评价：SOLO分类理论可观察的学习成果结构》  约翰·比格斯