运用“画图”策略，把数学画出来
【摘  要】：
图形有助于思考，往往一个简单的图象就能表达复杂的思想,因此,图象语言有助于数学思维的表达。在数学中,有时看到学生遇到难题百思不得其解时,如能画个草图,学生往往思路大开,究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。在教学中引导学生“把数学画出来”，让学生真正动起手来，往往比教师大费周章的讲解要好得多，有利于提高孩子解决问题能力。借助画图，通过“数”、“形”这两大块内容的有效结合、互助, 化抽象为具体，化繁为简；在提高学生的学习兴趣的同时有效地提高学生分析问题和解决问题的能力借助图形，把纯文字的解决问题变得直观明了，在纷繁的数量之间，去除非本质属性，抓住数量之间的本质联系。指导学生如何借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，恰当地借助直观图形，让数量基于图形“显山露水，让“形”(图形)变为 “象”(表象)，让眼前的形变为脑中的形，从而从内在达到提高学生解决问题的能力。
【关键词】：学习调查，画图策略，把数学画出来
缘起：从一次数学学习调查谈起
苏教版教材六年级数学P32有这样一道思考题：一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1:6。如果圆锥的高是4.2厘米，圆柱的高是多少厘米？如果圆柱的高是4.2厘米，圆锥的高是多少厘米？ 设计这道练习的目的是让学生在学习了圆柱和圆锥的体积后，进一步理解两者的关系，让学生在应用中感受数学知识的内在联系，不断提高解决实际问题的能力。因为是思考题，所以我决定让学生自己解决，布置在课后完成。第二天上课时我进行统计，结果不容乐观，只有少数同学能够解决。本以为这是自己班级中的特殊现象。想不到在与其它班数学老师的交流中发现，每个班都出现了类似的现象，有些班级甚至更严重。这一现象引起了我的重视，看样子，问题并没有刚开始想的那么简单。因此，我就对学生的解题思路进行了调查：
做对的同学运用了什么解题策略？我对做对的13人进行询问，发现做对的同学采用了不同的解题策略：看实物的2人，画图的6 人，想一想举例计算的2人，别人教的3人。通过这组数据，我们可以发现借助于实物或者是画图，数形结合，学生能比较容易的找到解决问题的条件。
错误的学生为什么不画图呢？我问解答错误的同学：是不会画吗？一问之下，结果令人惊讶，几乎所有的学生都说“我没有想到”。甚至还有几个同学说“题目没画图要求呀”。这结果真让我们老师无言以对,哭笑不得。
我们的老师怎样去讲评这道题目呢？问了几个老师，不约而同的说：“要么拿实物给他们看，或者画图给他们看”，让他们在画图过程中理解圆柱和圆锥之间的关系。
不管是学生，还是老师，都认为“画图”是解决这类实际问题的好策略，那学生为什么想不到画图呢？我觉得，学生缺少画图的解题策略，肯定与我们前面的教学有关。因为教学结果其实是教学过程在一定程度上的必然呈现。那么在新授课时，我们对此进行渗透了吗？为了更清楚地说明问题，我查阅了同年级任课老师本单元的教学设计，发现碰到类似问题，我们老师的解决方式是：老师把图画在黑板上，或者是题目和图形一起在课件中呈现，但是无一人叫学生画图，这也难怪大部分学生会想不到画图!
经过了上面的实践，我们不得不反思我们的教学过程：如何变“老师画”为“学生画”，如何变“要我画”为“我要画”，让学生在思考的过程中产生画图的需要，在自己画图的活动中体会方法、感悟策略、发展思维、获得思想。
实践：把数学“画”出来
随着数学新课程标准的修订，广大数学教师们不断地在进行探索实践，力求能找到一种适合教材、适合学生，能以学生为主体，促进教学效率的学习方法。《标准》指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”其中“几何直观”是《标准》中新增的核心概念，主要是指“利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。数学的一个重要特点就是它具有抽象性，而小学生的思维却是以直观思维和形象思维为主。如何来寻求两者之间的统一？我们在平时的数学课堂中可以让学生把数学“画”出来，把抽象的数学用具体的图形表示出来，有意识地沟通数、形之间的联系,帮助学生逐步树立起数形相结合的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,成为运用自如的思想观念和思维工具。
1、画图策略——概念掌握得更扎实。
从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子，贝壳记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。在低年级教学中学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学，对他们来说，许多数学概念比较抽象，很难理解，特别需要视觉的有效应用，因此有时教师可采用数形结合的思想展开概念的教学，运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形的分析，帮助学生理解数学概念。
在教学“求一个数的几倍是多少”时，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化称自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法，就利用书上的主题图：
在第一行排出2个一组的蓝色花片，再在第二行排出2个一组的黄色花片3组。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行花片的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：蓝色与黄色比较，蓝色是1个2朵，黄色是3个2朵；把蓝色当作1倍，黄色就是蓝色色小棒的3倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。
在方程教学中领域利用数形结合方法，以形助数，把数量关系的精确刻画与图形的直观形象有机地结合起来，提高学生解决问题的能力。在六年级上册“列方程解决实际问题”：北京颐和园占地290公顷，其中水面面积大约是陆地面积的3倍。颐和园的陆地面积和水面大约各有多少公顷?
我是这样组织教学的：颐和园和水面面积与陆地面积之间有什么关系？要求什么问题？为了看得更加直观和清楚，我们可以用什么样的方法表示题目中的水面面积与陆地面积之间的关系呢？（引导学生用画线段图的方法表示题中的数量关系）
陆地面积：
水面面积：                                           （    ）公顷

                                                
如果用x表示陆地面积，那么可以怎样表示水面面积？（实物投影完成线段图）


陆地面积：
  水面面积：                                           （    ）公顷

                                                     
启发：题中有怎样的相等关系？(颐和园水面面积＋陆地面积=颐和园的占地面积)
那么根据这个数量关系式我们可以怎样列方程？ ……
不管是认识“倍”还是“用方程解决实际问题”，无论是教师用实物摆放示范还是引导学生画图，在这个过程中，我们逐步把抽象的文字转化成形象的图形，把形式化的数据变成具象化的图像，把数和形结合起来，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，使数与形相得益彰。
2、画图策略——算法理解得更透彻。
在小学数学课堂教学中，教师不但要教给学生知识，更重要的是让学生经历知识的形成过程，有计划、有意识地让学生掌握各种不同的探究策略，这是落实数学新课程目标、提高学生数学素养的必由之路。计算通常被认为是数字与符号的游戏，是枯燥和抽象的。因此在计算教学中，教师在教学中适当地引进一些直观的手段，做到数形结合，在对比中使学生透彻地理解和掌握算理。
如计算++++，教材在不同的知识教学处采用了不同的教学策略。在五年级下册第十单元“分数的加法和加法”第85页有这样一道思考题：

在教学时，教师引导学生先按照四则运算的计算顺序进行计算，通过比较算式的结果与最后一个分数的关系，找出规律，再应用规律得出最后一题的得数。在六年级下册第九单元“解决问题策略”“试一试”中再次出现这样类型的习题：计算+++在教学时，我是这样处理的：请同学们仔细观察，这几个加数有什么特点？怎么计算？（通分求和，让学生尝试计算）这里用到转化了吗？如果要是再加上、，甚至更多，你还愿意先通分再计算吗？有没有其它转化的策略可以解决这个问题呢？（讨论交流。引导：我们在四年级就学过画图的策略，你能“画图”把题意表示出来吗？引导一起画图）
               
观察这张图，你有更简便的解决方法吗？（1-，从空白部分入手，把这个加法算式转化成一个减法算式也能求出它们的和。）如果这题再加上，和是多少？让你接着这处算式往后写，你会加到哪个数，其结果是多少？越来越接近几？
面对同样需要解决的知识，利用数形结合的方法，巧妙地计算出结果，在六年级教完后，我把这两道题让学生放在一起进行对比，觉得通过数形结合，把抽象内容形象化，有助于学生理解数学计算的算理，提高数学的思维水平。
3、画图策略——图形认识得更深刻。
小学生处于形象思维向抽象思维过渡阶段，所以对于平面、立体图形的理解能力特别低。但是学生遇到几何时形体的解决问题，常常不爱动动手画画图，只凭空冥思苦想，最后也不知所措。对小学生而言，学生的空间想象能力尚未成熟，凭空想，想不出一个结果，这也正常。因此在教学中教师要经常以实物和图示相结合帮助学生理解题意，也更应该让学生在已有知识的基础上，主动画画草图，明确题意。
在教学圆的知识时，遇到这样一个数学题：在一个周长为100厘米的正方形纸片内，要剪一个最大的圆，这个圆的半径时多少厘米？有的学生在解决这个数学问题时无从下手，找不出正方形的周长与圆的半径的关系，这道题我并没有直接讲解，而是让学生试着把这道题画出来，学生试着画图。根据图学生很快分析出圆的半径与正方形的边长有关系，根据正方形的周长推算出正方形的边长，也就能推导出圆的半径。数学知识有些比较抽象、有些学生的想象思维能力比较弱，让学生把数学知识画出来，有助于培养学生分析问题、解决问题的能力。
还有学生在学了长方形周长之后常会碰到这样一道题目“一块长8米，宽5米的长方形菜地，一条长边靠院墙，其余三边围上竹篱笆，篱笆长多少米？”初次碰到这道题目的学生由于缺乏生活经验常常对“靠院墙”、“ 三边围上竹篱笆”不理解，以至于无法解题。这时我经常会在黑板上画一个实物图（草图见下图）帮助孩子理解题意。通过

简单的草图，将学生的空间想象和图形的直观形象相结合，不失为一种简洁、有效的学习方法。“一图抵百语”，让学生逐步养成画图思考的习惯，感受到数与形结合的优点，从而提高学生的数形转化能力，实现形象思维和抽象思维的互助互补，相辅相成。
4、画图策略——问题解决得更形象。
在数学教学中，还要重点培养学生理解掌握数形结合的表现形式，即通过对题目的阅读理解，用正确的方式画图表达出题意，从而实现把题目的抽象叙述变为直观呈现，化繁为简，化难为易的目的。如六年级上册“解决问题的策略（假设）”中有一道”鸡兔同笼”的问题：鸡和兔一共有8只，数以数腿有22条，你知道鸡和兔各多少只吗？“鸡兔同笼”是一个让很多学生学习起来感到头疼的问题，但是运用画图策略却非常容易理解且把问题解决。在教学这道练习题时，我是这样引导学生进行画图、假设的：
⑴、先画8个圆，表示一共有8只动物。
⑵、先假设都是鸡，给每只动物画两条腿
⑶、算出画出的腿比22条少几条。（22-16=6）一只兔比一只鸡多2条腿，再给（6÷2=3）只动物添上2条腿，正好是22条腿。
⑷、通过直观图，得出鸡有5只，兔有3只。
    ⑸、如果假设都是兔子，应该怎样画图？在有了这一发现后，学生兴趣浓厚，纷纷动手，了了几笔简笔画，通过减腿非常快速地用另一种假设法计算出鸡和兔各有多少只。
学生依托画图法，再理解假设法中求鸡和兔就有了深刻的理解，尤其是算式：（22-8×2）÷（4－2）=3（只）或者（8×4-22）÷（4－2）=5（只）中为什么除以（4－2）的差就是鸡或者兔的只数。
曾听过特级教师徐斌给二年级小朋友上“鸡兔同笼”，刚一看这课题，脑中闪过的疑问是这个内容二年级的小朋友能学会吗？带着这种疑问听完了整堂课，不由从心里佩服名师的教学水平。在整堂课中，徐老师也是采用的一个基本的学习方法，就是让小朋友动笔画，用一个简单的圆形来代替动物的头，用两根竖线来表示动物的脚，在画的过程中发现多了或少了可以马上就改。画完后选取部分作品加以展示，并请作者来说说自己的想法，很好地满足了孩子的表现欲。整堂课上，二年级的小朋友充满了兴趣，学得兴致勃勃，丝毫也看不出由于内容的难度而带来的疲倦感。就在简单的画的过程，他们对鸡兔同笼中“几个头、几只脚”有了一个最基础的认识，对这类题目的第一个感觉就是有趣。
同一个载体鸡兔同笼问题，不同的教师在不同的学段可以教出不同的知识点。教材其实只是个载体，同一个题材可以赋予不同的使命。鸡兔同笼问题这个题材只是我们教学的基本凭借，而不是唯一。用不同的符号表示鸡和兔，这时鸡和兔的外在属性被忽略了，而只抽取了与数学有关的“头”和“腿”的数量特征，得到的“数学画”既是形象的图画，又是抽象的符号。这一过程是儿童将头脑中的表象概括化的过程，获得的是用画图策略解题的活动经验。
图形有助于思考，往往一个简单的图象就能表达复杂的思想,因此,图象语言有助于数学思维的表达。在数学中,有时看到学生遇到难题百思不得其解时,如能画个草图,学生往往思路大开,究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。在教学中引导学生“把数学画出来”，让学生真正动起手来，往往比教师大费周章的讲解要好得多，有利于提高孩子解决问题能力。借助画图，通过“数”、“形”这两大块内容的有效结合、互助, 化抽象为具体，化繁为简；在提高学生的学习兴趣的同时有效地提高学生分析问题和解决问题的能力借助图形，把纯文字的解决问题变得直观明了，在纷繁的数量之间，去除非本质属性，抓住数量之间的本质联系。指导学生如何借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，恰当地借助直观图形，让数量基于图形“显山露水，让“形”(图形)变为 “象”(表象)，让眼前的形变为脑中的形，从而从内在达到提高学生解决问题的能力。
总之，在小学数学教学中，将抽象的数量关系具体化，把无形的解题思路形象化，不仅有利于学生顺利地、高效率地学好数学知识，更用于学生学习兴趣的培养、智力的开发、能力的增强。我们的课堂不是没有思想的火花，而是缺少错落有致的思想之花；我们的课堂不是没有思想的枝叶，而是缺少绚丽多枝的思想之树。引领学生生发一种对数学思想的钟爱、对思维的渴望和对完善自我的追求，这才是我们追求思想引领课堂的价值所在。让我们一起追寻数学思想引领下的数学课堂，追求一种数学教育理想至真、至善、至纯的数学新境界，让思想的灵魂永驻我们的课堂。
参考文献：
[1] 《教育学基础》全国十二所重点师范大学联合编写，教育科学出版社
[2] 何洪.对话:一种课堂教学的理想境界[J].教学与管理,2005,8。
[3]《生活教育理论》 胡国枢著，浙江教育出版社，1991年8月
[4] 《教育新理念》袁振国著 教育科学出版社
本作获无锡市教科研论文评比一等奖