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编号：YJSD/JWC-17-08                        

 

 

 

 

 

 

§ 5.2 弧度制

[学习任务]

1、能力目标：发展学生应用数学知识与方法解决问题的意识和能力，让学生从中体会数学的价值。

2、知识目标：

（1）使学生理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立一一对应的关系；

（3）掌握弧度制下的弧长及扇形面积计算公式，会利用弧度制解决一些简单的实际问题。

3、情感目标：激发学生的非智力因素，增强学生学习数学的兴趣，强化学生积极参与的主体

             意识。

[重点和难点]

  重点：角度和弧度的转化

  难点：对度量角的弧度制的理解

 

[教学模式与方法] 情境问题导向式教学模式

 

[学习活动] 师生互动

 

[主要知识点]

1、弧度制的定义：___________________________________叫１弧度的角，记作１（）

2、弧度与角度的互化：

             

                

特殊角的度数与弧度数的转化：

 

3、用弧度制表示终边相同的角：

  与角终边相同的角的集合：______________________________

 

4、弧长公式和扇形面积公式：

已知角的顶点在圆心，圆的半径为，用弧度制表示角的大小为，这个角所对的圆弧的长度为。

弧长公式为：__________________  

扇形面积公式为：=_______________________

刻画物体的质量、长度、体积、温度、速度等时，度量单位一般是借助工具制定的.比如，中国人所说的“拃”就是古代中国的“尺”，指的是成年男人大拇指与中指之间的距离，在西方的许多国家仍然把“英尺”(foot)作为度量单位，英文单词foot是脚的意思，指的是成年男子一只脚的长度.这样制定的长度单位是因人因地而异的，是无法进行传播和交流的，因此长度单位的制定需要从多元走向统一．现在统一使用的国际基本长度单位是“米”，这样的度量依赖的是人对距离远近的感知本能.在不同的情况下，人们使用不同的度量单位，例如，在衡量天体之间的距离时用“光年”作为单位，而在衡量芯片制程时用“纳米”作为单位.

初中我们学过用“度”作单位度量角的单位制称为角度制.还可采用什么作单位度量角呢？

如图5-8，两个半径为与的同心圆如果圆心角的大小是确定的.

（1）在不同的圆中，同样的圆心角所对的弧长与是否相等？

（2）在不同的圆中，同样的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否相等？其比值大小与半径有关还是由圆心角大小确定？

 

图5-8

 

   对问题（1），我们知道，在圆周中，弧长所占圆的周长的份数等于该弧所对圆心角所占圆周角的份数，根据角度制得，，所以，当半径不相等时，同样的圆心角所对的弧长不相等；

对问题（2），根据对问题（1）的分析得，，即同样的圆心角所对应的弧长与半径的比值相等.并且弧长与半径的比值与半径无关，是由圆心角的大小确定的.由此可见，圆心角所对应的弧长与半径的比值大小，能刻画圆心角的大小.

 

二、抽象概括

如果圆心角的大小确定，则圆心角所对应的弧长与半径的比值是一个常数，我们称这个常数为圆心角的弧度数.当圆的半径为1个单位长度时，圆心角所对的弧长就是这个角的弧度数.

长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为1（读作1弧度）．

 

 

 

三、合作交流

弧长等于2倍半径的弧所对的圆心角弧度数是多少？直角的弧度数是多少？

 由于平角的弧度是，并且角度制下1个平角为，所以.

由此可得到角度与弧度的换算关系：

rad   ， 1 =

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.当形成角的射线旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2π或小于-2π的角，这样，就可用角的弧度数度量任意角的大小.并建立了角的集合与实数集R之间一一对应的关系.用弧度作单位（常省略不写）来度量角的单位制叫做弧度制.

 

四、例题解析

例1  把45°化成弧度.

例2  把化成度.

例3  将下列各角化成的形式，并指出是第几象限角？

（1）； （2）.

 

五、思维拓展

用弧度制如何表示轴线角、象限角的集合.

（1）终边落在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴的角.

（2）第一、二、三、四象限角.

 

六、课内练习

1.将下列各角化为弧度:

(1)；(2) ；(3)  ；(4) .

2.将下列各角化为角度:

 (1)；(2) ；(3) ；(4).

 

七、课堂小结

1.了解1弧度的定义及弧度制；

2.掌握角度制与弧度制的互化；

3.熟记特殊角的弧度数.

 

在初中已经学习了角度制下计算弧长的公式及计算扇形面积的公式.如图5-9，圆的半径是r，圆心角为α度，则弧长,以α为圆心角的扇形面积.

那么，在弧度制下，弧长与扇形面积公式又是怎样的呢？

如图5-9，圆的半径是r，圆心角α的单位是弧度，那么，如何用r, α表示圆心角α所对的弧长l及扇形面积S？

图5-9

 

二、抽象概括

如图5-9，由弧度的定义，弧长l与半径r的比值等于所对圆心角α的弧度数，又α有正负由α的始边到终边的旋转方向确定，所以，（其中表示所对的弧长），即

这就表明弧长等于该扇形圆心角的弧度数的绝对值与半径之积.

又因为：在圆周中，扇形所占圆的面积的份数等于该扇形所在圆心角所占圆周角的份数，所以．

因此，扇形面积公式为：

由于，所以扇形面积公式还可用α和r表示为 .

即扇形面积等于扇形的弧长与半径之积的一半.  

     

三、例题解析

例4  在半径为5cm的扇形中，圆心角为4rad，求扇形的面积．

例5  扇形的面积是，它的周长是，求扇形的圆心角.(如图5-10)

图5-10

 

四、思维拓展

已知公路上一段圆弧形弯道半径是30m，转过的圆心角是120，该弯道的长度是多少？

 

五、课内练习

1.直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？

2.在半径为12cm的扇形中，圆心角为4rad，求该扇形的弧长和面积.

 

 

六、课堂小结

1.终边相同角的概念；

2.终边相同角的表示法.