教  案（首页）

编号：YJSD/JWC-17-08                              

 

 

§1.3 集合的运算

[学习任务]

1、知识与能力目标：

（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个集合的交集与并集；

（2）了解补集的含义，会求给定子集的补集。

2、过程与方法目标：让学生初步感受数学建模思想，能够利用数形结合分析和解决相关问题。

3、情感态度与价值观目标：提高学生的实际应用能力，真正体会到学习的乐趣，感受到学有所得，学有所用。

[重点和难点] 正确地进行集合之间的交、并、补运算

 

[教学模式与方法] 情境问题导向式教学模式

 

[学习活动] 师生互动

[主要知识点]

一、交集

1、  定义：一般地，给定两个集合A，B，由____________________的元素组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作___________，即________________________________。

2、  图示：

3、  性质⑴A∩A=________         A∩= _______

⑵A∩B______ A          A∩B_____ B

⑶若则=_______

⑷A∩B ____B∩A        （A∩B）∩C_____A∩（B∩C）

 

二、并集

1、定义：一般地，给定两个集合A，B，把它们所有的元素_______________组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作___________，即________________________________。

2、图示：

 

3、性质⑴A∪A=________         A∪= _______

⑵A______  A∪B         B_____  A∪B

⑶若则=_______

⑷A∪B ____B∪A         （A∪B）∪C_____A∪（B∪C）

三、补集

1、定义：一般地，如果我们所研究的集合涉及的全部元素都________集合U，那么集合U叫做全集。如果A是全集U的一个_________，由U中___________A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作__________，即___________________________。

2、性质：（1）__________________

        （2）__________________

        （3）__________________

1.3.1  并集

一、问题探究

考察下面两组集合，集合C的元素与集合A、B之间具有怎样的关系？

（1）=｛1，2，3｝，=｛2，3，4｝，=｛1，2，3，4｝；

（2）=｛x|x=2k，k∈Z｝，=｛x|x=2k+1，k∈Z｝，=Z.

容易看出，在上述两组集合中，集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的.

 

二、抽象概括

1.并集与并运算

一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合称为集合与集合的并集，记作∪，读作“并”,即

∪={x|x∈或x∈}.

∪可以用图1-3中的阴影部分来表示.

 

 

 

 

 

 

 

 

并集∪是由给定的两个集合、通过“将两个集合的所有元素合并到一起”这样的“运算”得到的新集合.这种运算称为“并” .

 

 

2、并运算的性质

对于任意集合，，，有

（1） 交换律：∪=∪；

（2） 结合律：(∪)∪=∪(∪).

三、例题讲析

例1  设集合={1，3，4，7}， 集合={2，4，6，7}，求∪.

解  ∪={1，3，4，7}∪{2，4，6，7}={1，2，3，4，6，7}.

 

例2  设集合={x|0<x<2}，集合B={x|x≥1}，求∪.

解  集合、可以在数轴上表示为如图1-4所示的形式，由图可知，

∪={x|0<x<2}∪{x|x≥1}={x|x>0}.

 

 

 

 

 

四、合作交流

1.如果两个集合、满足,那么∪=           .

反之成立吗？

2.∪=         ， ∪=         .

 

五、练习

1.填空题

（1）若集合={-1，0，2，5}，集合={-2，0，2，6}，则∪=        ；

（2）若集合=｛x|x>-1｝，集合=｛x|x>2｝，则∪=          ；

（3）若集合E=｛x|x是三角形｝，集合F=｛x|x是直角三角形｝，则E∪F=       ；

（4）若集合G=N，集合H=Q，G∪H=                .

2.设集合={x|x<5}，集合={x|x<-1}，求∪.

 

1.3.2  交集

一、问题探究

考察下面两组集合，集合的元素与集合、之间具有怎样的关系？

（1）=｛1，2，3｝，=｛2，3，4｝，=｛2，3｝；

（2）=｛x|x=2k，k∈Z｝，=｛x|x=3k，k∈Z｝，=｛x|x=6k，k∈Z｝.

容易看出，在上述两组集合中，集合是由所有既属于集合又属于集合的元素组成的.

二、抽象概括

1、交集与交运算

一般地，给定两个集合，，由既属于集合又属于集合的元素组成的集合，称为集合与集合的交集，记作∩，读作“交”,即

∩={x|x∈且x∈}.

∩可以用图1-5中的阴影部分来表示.

 

 

 

 

 

 

 

 

交集∩是由给定的两个集合、通过“将两个集合的相同元素合并到一起”这样的“运算”得到的新集合.这种运算称为“交”.

2、交运算的性质

对于任意集合， ，，有

（1） 交换律：∩=∩；

（2） 结合律：(∩)∩=∩(∩).

三、例题讲析

例3  设集合={a，b，d，e}，集合={b，c，e，f}，求∩.

解  ∩={a，b，d，e}∩{b，c，e，f}={b，e}.

例4  设集合={x|-2<x<2}， 集合={x|x≥0}，求∩.

解  集合、可以在数轴上表示为如图1-6所示的形式，由图可知，

∩={x|-2<x<2}∩{x|x≥0}=｛x|0≤x<2}.

 

 

 

 

 

四、合作交流

1.如果两个集合、满足,那么∩=            .

反之成立吗？

2.∩=           ， ∩=           .

 

五、练习

1.填空题

（1）若集合={a，b，c，d，e}，集合={b，d，f}，则∩=                .

（2）若集合=｛x|x<3｝，集合=｛x|x>2｝，则∩=            .

（3）若集合=｛x|x是正方形｝，集合=｛x|x是矩形｝，则∩=             .

（4）若集合=Z，集合=R，则∩=        .

2. 设集合={x|-1<x<4}，集合={x|0<x<7}，求∩.

 

 

1.3.3  补集

一、问题探究

考察下面两组集合，集合，，之间都具有怎样的关系？

（1）=｛1，2，3｝，=｛4｝，=｛1，2，3，4｝；

（2）=｛x|x=2k，k∈Z｝，=｛x|x=2k+1，k∈Z｝，=Z.

容易看出，在上述两组集合中，集合、都是集合的子集，且集合是由集合中不属于的元素组成的，集合是由集合中不属于的元素组成的.

 

二、抽象概括

1、全集与补集的概念

一般地，在研究某些集合时，这些集合通常是一个给定集合的子集，这个给定的集合称为全集，一般用来表示.

如果是全集的一个子集，由集合中不属于的所有元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作C_U，读作“在中的补集”,即

C_U={x|x∈，且x}.

C_U可以用图1-7中的阴影部分来表示.

 

 

 

 

 

 

2、补运算及运算性质

补集C_U是由给定的两个集合、通过“将集合中不属于的所有元素合并到一起”这样的“运算”得到的新集合.这种运算称为“补”.

对于全集和它的一个子集，有

（1）∪(C_U)=；

（2） ∩C_U=.

三、例题讲析

 例5 已知全集=｛1，2，3，4，5，6｝，集合=｛1， 3，4｝，求C_U.

解   因为全集=｛1，2，3，4，5，6｝，集合=｛1， 3，4｝，所以

C_U=｛2，5，6｝.

例6  已知全集=R, 集合=｛x|x<1｝，求C_U.

解  因为全集=R, 集合=｛x|x<1｝，所以

C_U=｛x|x≥1｝.

合作交流

C_U=        ， C_U=        ，C_U（C_U）=        .

 

四、思维拓展

某班级共有28人同时参加数学和英语竞赛.经测试，其中数学有12人获奖，英语有14人获奖，有5人两科都获奖，求没有获奖的人数.

 

五、练习

1.填空题

（1）全集=｛a，b，c，d，e，f｝，集合=｛b，d，f｝，则C_U=           ；

（2）全集=｛x|x是三角形｝，集合=｛x|x是锐角三角形｝，则C_U=           ；

（3）全集=Z，集合=｛x|x=2k-1， k∈Z｝，则C_U=           ；

（4）全集=R, 集合=｛x|x≤2｝，则C_U=           ；

（5）全集=R, 集合=｛x|-2<x≤4｝，则C_U=           .

2.已知全集=R, 集合=｛x|x<2｝，集合=｛x|x>0｝，求∪， ∩， C_U，C_U.

 

六、课堂小结

1.交集的概念及符号

2.理解“且”的含义

3 .学会借助“数轴”解决问题的方法

4.交集的概念及符号

5.理解“且”的含义

6.借助“数轴”解决问题

7 补集的概念及数学符号含义

8 补集与交集、并集之间的综合运算

9 利用数轴，求已知集合的补集