Fisher判别法（FDA）与可能性理论相结合的状态辨识方法研究

减速器运行状态辨识就是根据减速器运行信息识别其状态，对其各部件，因此在信号分析的基础上还需合理的状态辨识方法，完成状态辨识判断主减速器的各部件是否存在故障。

2.3.1 Fisher判别法的状态识别方法

Fisher判别法（Fisher Discriminant Analysis，FDA）的主要思想是将多维数据投影到某个方向上，使总体与总体之间尽可能的分开，再选择合适的判别规则，将新的样品进行分类判别，因为该方法使用了公共协方差矩阵的联合估计量，故含有总体协方差矩阵相等的假定^[57]。即是从个不同状态中抽取个特征参数的样本观测数据，借助方差分析的思想构造一个线性判别函数：

式中，判别系数的确定是根据总体的组与组间之间的区分最大，而使每组间的内部间差别最小。

分别针对两种异常状态和多种异常状态的情形说明FDA方法的计算方法。

（1）针对两个总体的情形

假设两种不同状态m和um各具有个特征参数的样本观测数据，基于方差分析方法建立线性判别函数：

根据上述Fisher判别法的系数确定标准，Fisher线性变换的目标函数即为：

求解使得取得极大值。

其中为组间平方和组成的矩阵，为组内平方和组成的矩阵，分别定义为：

其中，，。

设，则

问题转化为一般的求特征值问题，即为矩阵特征值，为对应的特征向量。对应上式求得的每一个特征值，都有相应的方差百分比（% of variance），说明此特征向量对应的函数所解释的百分比，即

（2）针对多个总体的情形：

减速器的状态辨识中，假定有种不同的状态类型 ，，，…，，其均值和协方差矩阵分别为和。联立线性判别函数，在的条件下，有

令

其中，；。这里为一元方差分析中的组间差，则为组内差，应用方差分析的思想，选择使得目标函数

达到极大，求得。

基于Fisher判别函数的分类法则：

如果得到的线性判别函数，那么对于未知的设备状态Y，定义如下判别规则：

则判别Y来自状态。

当Fisher判别法用于两类区分时，线性变换后得到投影直线，参见图2.7；如果Fisher线性判别扩展应用到多种类别的判别，那么将产生条投影直线；代表类别的个数。

图2.7 两类区分时的Fisher判别法方法示例

Fig.2.7 Example of Fisher’s linear discriminant for two samples

2.3.2 可能性理论方法的状态判定

自Zadeh以来，关于可能性理论的研究甚多。可能性的直观方法是由Zadeh提出来的，将可能性理论作为模糊理论的一个扩展而引入的。可能性的直观方法源于模糊约束的概念。以为论域，为在上取值的一个变量，为上的一个模糊集。则命题“为”可以用隶属度函数解释为时的可能性程度。

模糊理论用于分类即是将模糊性透过可能性测度得到，由隶属函数值的大小确定分类。假设经过Fisher线性变换后同一类别的值概率分布服从正态分布，即，其中：为期望，表示标准方差，那么可能性分布函数就可以通过其概率密度函数得出：

和的计算如下：

图2.8表示概率密度函数（Probability density function）和与之相应的可能性分布函数（Possibility distribution function）的例子。可能性大并不意味着概率大，概率小也不意味着可能性小；但是，当事件不可能发生时，它必不发生，即可能性为0；这就是可能性与概率的不同。值得注意的是，概率仍紧守可加性，即所有概率值的和是1，但可能性无此限制。

图2.8 概率密度函数与可能性分布函数的关系

Fig.2.8 Relationship between the possibility function and the probability function

基于可能性理论的状态辨识，就是将未知状态y对照要判定的某一状态（如判定是否正常），求得状态y“没有状态变化”的可能性。各种领域已经提出很多种模糊推理的方法，状态识别中，需要按照辨识对象的各种条件、依据经验或多次试验决定最合适的模糊推理方法。日本三重大学的陈山鹏教授提出的针对状态识别的模糊推理方法，多次证明了其准确性^[58]。

Fig.2.9 State judgement based on possibility theory

如图2.9所示，状态k时得到的无量纲特征参数的均值和方差分别为和，状态k的可能性分布函数记为，相对于状态k的“状态有变化”和“状态有大变化”的可能性分布函数分别为、和、；A和B则需要依据设备的类型和重要度通过经验和多次试验来确定。由此决定了识别状态的可能性分布函数。依据状态y（未知状态）的可能性分布函数和、、对照，可以求得状态变化的可能性。

若诊断时状态y的可能性分布函数与图2.9的可能性分布函数的对照结果为：，，，则判定结果为与状态k相对比，“状态没有变化”。