数学模型在高层建筑结构分析中的应用

摘要：随着城市化进程不断加快，多样化的高层建筑需求大量增长，其建筑结构的安全稳定是不容忽视的重要问题，而正确运用分布估计算法、钢构件数学模型、常微分方程、应用力学的辛数学方法等数学模型能够简化高层建筑结构分析中复杂的计算过程。本文通过对建筑结构分析方法方面的研究，列举了众多数学模型和分析方法在高层建筑结构分析中应用的优缺点，旨在为为高层建筑结构方案的设计与完成提供准确的依据。

关键词：数学模型，高层建筑，结构分析

随着我国经济的快速发展和城市进程化的不断加快，高层建筑的功能得以多样化发展，再加上新型建筑材料、建筑技术的创新发展以及高层抗震、抗风理论的不断完善，特别是计算机辅助建筑结构分析技术的成熟和手段的不断提高，为高层建筑的发展奠定了基础。而在一些强风、地震等外力的影响下，高层建筑的一些构建的损坏和功能丧失，往往会引起整个高层建筑的坍塌，为了精准的分析高层建筑构件在强负荷作用下的性能，数学模型的应用显然可以简化高层建筑结构分析的流程、提升分析效率。

一、数学模型的内涵

所谓的数学模型就是运用数学语言、数学思维和数学逻辑方法来构建相应的工程模型，以解决各种各样的实际问题。数学模型主要是通过公式、图形、图标、数理逻辑等来描述特定领域、特定系统的特征以及其内外联系，具有静态和动态模型、分布参数和集中参数模型、连续时间和离散时间模型、随机性和确定性模型、参数与非参数模型、线性和非线性模型等不同的分类方法。

数学模型的构建和以及用数学模型对于高层建设计和结构分析时，首先需要充分了解高层建筑的水平荷载、垂直荷载、侧移、结构延性、结构体系等各类信息，才能够充分发挥其洞察力、判断力进行模型假设，进而让问题得以线性化、简洁化，才能让所构建的数学模型具有应用价值。其次，采用相应的逻辑原酸、公式推理、图像绘制、数值运算等数学方法，或者使用计算机及技术来模拟和三维呈现高层建筑结构的受力情况以及在不同情况下，各部分建筑构件和建筑整体所发生的形变，进而对于数学模型进行精致、细化的分析，以尽可能地减少数学模型的误差、保证数学模型数学分析的稳定性。最后是形成计算快速、科学合理，能够实际解决问题的数学模型，并实际运用数学模型进行高层建筑结构的分析，以实现对于高层建筑钢结构进行优化的目的，提升高层建筑的抗风、抗震能力。因此，数学模型在高层建筑结构分析中具有重要的作用和意义。

二、高层建筑结构分析

高层建筑结构分析具有较高、较为复杂的要求，根据高层建筑的剪力墙结构体系、框架结构体系、框架剪力墙结构体系、框架剪力桁架结构体系等结构体系的优缺点以及应用范围的了解是对于高层建筑结构分析的首要条件。对于高层建筑结构的整体、部分构件的准确计算以及对于计算结果的分析，如结构参数(部分)的确定、高层建筑结构整体和构件的高宽比、刚度比、剪重比以及层间受剪承载力之比、对于建筑结构合理的计算结果的分析等是高层建筑结构分析的必要步骤。

为了精确分析高层建筑构件在强负载作用下的性能，必须合理利用有限元分析法、塑性铰方法等提出弹性假定、小变形假定、刚性楼板假定、计算图形的假定等基本假定，建立一定的简化数学模型，才能有效运用对高层建筑的框架-剪力墙体系、剪力墙体系、筒体结构等各类结构体系进行准确分析，进而优化高层建筑的结构、构件之间的关系，以利于提高我国高层建筑的抵抗强风、抗震等强外力的水平。

二、数学模型在高层建筑结构分析中的应用

对于高层建筑所采用的结构体系，特别是150M以上的高层建筑主要是以钢筋混凝土结构、钢结构为主。就国内一些高层建筑所采用的钢筋混凝土以及外钢框架的混合结构，在国外较少采用，并且并没有经历过较大的抗震等外力作用的考验。而钢结构对于减少柱面尺寸、提高高层建筑结构的抗震性能等具有较好的表现，因此本文主要是采用钢结构数学模型对于高层建筑结构进行分析，具体如下：

（一）数学模式计算的原则与基本假定

运用数学模型对于高层建筑结构进行分析的计算原则，要充分考虑钢结构的非抗震结构、弹性分析、计算钢结构内力和位移、抗震结构、大小震验算、弹性分析、内力位移、弹塑性分析和变形验算。在组合梁的弹性和弹塑性分析方时，要忽略楼板与钢梁的共同工作，充分考虑框架与钢梁共同工作；而在钢构件的数学模型分析时，忽略次结构的影响、忽略非结构构件的影响、必要时考虑一定的受力蒙皮作用。因此，利用数学模型对于高层建筑钢结构进行分析时，对于数学模型的假设与验证、分析中需要充分考虑梁柱的弯曲变形、轴向变形、节点域的剪切变形、支撑的轴向变形、宜计入剪切变形。

（二）简化模型与精确分析模型

对于高层建筑结构的分析，一般是在初步设计阶段利用简化的数学模型进行快速计算，而在中间和最终设计环节采用精确的数学模型对于准确结果分析。下面就简化模型与精确分析模型进行分析，首先高层建筑钢框架结构平面简化模型，主要是在钢结构框架在竖向荷载作用力下，可以采用分层法计算钢框架的内力（弯矩、轴力）；在水平荷载作用下采用反弯点法或者D值法来分析高层建筑钢框架的内力和位移；在平面布置规则的框架结构的数学模型分析时，运用数学模型分析高层建筑的剪力墙结构，则在水平荷载作用下简化协同分析模型。其次，高层建筑钢框架结构的精确分析模型，主要是对于结构体系复杂、钢结构平面和竖向不规则排布，通常采用杆系模型进行有限元分析。此外，还有基于塑性铰理论的梁单元模型、沿截面和杆长的积分单元模型等分析方法。

（三）钢结构框架分析方法

在钢结构框架的结构分析中，圆锥形框筒结构由于其下大上下的塔楼结构可以大大减少地震和风荷载的作用、风载体形系数小、倾斜外柱轴向力的水平分力可以较好地抵消高层建筑的水平荷载等优势，在高层建筑中具有广泛的应用。圆锥形框筒结构风受力特性，水平分力对于部分荷载的抵消，对于提升高层结构在地震和强风等外力下的抗侧翼能力明显提高。比如假设高层建筑的圆锥形框筒结构在水平荷载作用力的作用下，其弯矩、剪力、应力、轴力可以换采用连续化的数学模型，将高层建筑中圆锥形框筒钢结构模拟为等效的圆锥壳，将简化的数学模型中的等效刚度，扩充到一般的钢筒结构当中，进而来分析梁和柱的截面惯性矩、柱的截面面积、框筒的材料弹性模量，来分析圆锥形框筒结构受力时的受力特性、静力、总势能，进而实现对钢结构框架重量的减轻和造价的降低，并且有助于有改善内力分布，大大提高抗震性能。

结语：

     综上所述本文所提出的数学模型、数学思维和数学分析方法相对于传统分方法对于高层建筑的构件在强荷载作用下的动力特性、滞后非弹性性能等结构分析具有方法简洁、与计算量小、分析精准等明显的优势，并且可以适用于高层建筑的钢框架的支撑、梁、柱等其他构件的分析，为高层建筑的结构分析提拱了一种新的思路，具有良好的可推广性和参考价值。

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