一元二次函数、方程和不等式（衔接课）
一、教学设计
1.教学内容解析
在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好.
本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.
三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.
根据以上分析，本节课的教学重点确定为
教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.
2.学生学情诊断
本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.
教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.
3.教学目标设置
(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；
(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；
(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.
4.教学策略分析
本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。
这种课的关键是整合和提升，形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。这些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。
教学流程：


5．教学过程
    环节一：回顾
    师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式 的解集是多少啊？
    生： .
    师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？
    生：把 移到右边去，再不等式左右两边同时除以3.
    师：你的解题依据是什么呢？
    生：不等式的性质.
    师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了，还有其它的解法吗？
    生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集.
    师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？
    生：找两个点.
    师：找那两个点比较好？
生：与坐标轴的交点.
师：与 轴的交点是多少?
生： .
师：这 是怎么出来的啊？
    生：令 . 即 ，这个方程的根.  
师：很好，与 轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根. 与 轴的交点是多少？
生：令 . 得 ，交点 .
师：所以这个不等式的解集就是？
生： ，即图象在 轴上方时所对应的 的范围.
师：很好，请坐，由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？
    生：一次方程的根就是一次函数图象与 轴交点的横坐标（即一次函数的零点），
         一次不等式的解集就是一次函数图象在 轴上方时所对应的 的范围，
         一次方程的根也是一次不等式解集的端点
师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？
生：……
师：我们从代数表达式来看一看， 一次方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什么共同点？^……，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系.
   【评析】回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式. 由三个“一次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路.
环节二：整合 
师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系. 我们再来看一下一元二次函数 ，一元二次方程 、一元二次不等式 ， .                         
师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图象. （板书课题）

                    画出二次函数 的图象.

   
   
                  观看几何画板动画，随着动点C横坐标x的变化，纵坐标y的变化情况.

 

                   


   （1） 当 取哪些值时， ？  （2）方程 的根为             ；
         当 取哪些值时， ？       不等式 的解集为         ；
         当 取哪些值时， ？       不等式 的解集为         .                     
    问题2：一元二次方程 ，一元二次不等式 和一元二次函数 ，三者之间有什么关系？
    动画展示：







  

   
问题3：对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么关系？
小组合作探究：
 
    师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题.












   【评析】以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例，让学生通过类比三个“一次”，理解三个“二次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教学中，鼓励学生自主探索、合作研究. 
    师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题：
    【例1】已知关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值.  
    【评析】逆向变式，强化一元二次函数、方程和不等式的内在联系.
     生1：依题意， 是对应一元二次方程 的两根，将 和 代入方程得， ，即 ， 解得 .
     生2：依题意， 是对应一元二次方程 的两根，
          由韦达定理有 ，解得 .
    师：很好，请坐. 根据三个“二次”之间的关系，不等式的解集就是函数图象在 轴下方时，所对应的 的取值范围，所以 正好是图象与 轴交点的横坐标，也就是方程 的两个根，从而根据韦达定理，可以求出 的值. （画图分析）
    环节三：提升
    辩证唯物主义告诉我们，任何事物都是运动、变化、发展的，当我们将方程和不等式中常系数改为字母时, 随着字母取值的不同，方程的根和不等式的解会发生相应的变化，这类方程和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问题.
    师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：
   【例2】已知关于 的方程 ，一根小于 ，另一根大于 ，求实数 的取值范围.
   【评析】含参二次方程问题，继续对二次方程和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理方程问题.
生1：设 ，则 ，解之得 .
师：有不同意见吗？
生2：不对，应该还要 .
师：诶，生2好像说得很有道理呢？还有其它观点吗？
生3：我觉得生1是对的，因为 的作用是控制图象与 轴有两个交点，而这是开口向上的抛物线， 也能保证与 轴有两个交点.
师，同学们同意哪位同学的说法？
生：曾子轩.
师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于 ，一个大于 ，根据函数与方程的关系，方程的根就是函数图象与 轴交点的横坐标，我们可以通过控制二次函数的图象来控制方程的根，也就是要保证函数图象与 轴的交点，一个在1的左侧，一个在1的右侧. 只需要 ，就可以控制住这个二次函数的图象了，当然如果把 加进去，可不可以？也是可以的. 我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？
法1：
法2： .
师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理.
师：我们再把前面那个具体的不等式也变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：
   【例3】若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
   【评析】含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理不等式问题.
    组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分析.
学生分析：只需二次函数 ，在 这一段的图象位于 轴上方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右边.
师：非常不错啊，刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题，只需要函数图象在 这一段的图象位于 轴上方即可. 如何保证图象在 轴上方呢？
我们边看动画一起来分析.  
    动画展示：随着 的取值变化，函数图象与 轴的位置关系.
             
  
    师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在 轴上方？
    生：只需要 ，
    师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在 这一段的图象是上升的，即 随着 的增大而增大，只需要最小值 即可.
    师：当对称轴在区间的里面时，怎么样就能保证图象在 轴上方？
    生： .
    师：还可以通过什么来控制？
    生： .
    师：就是函数的最小值大于零即可.
    师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在 轴上方？
    生：只需要 ，
    师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在 这一段的图象是下降的，即 随着 的增大而减小，只需要最小值 即可.
    下面同学们把具体的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程：
    生：记 ，这个函数的对称轴为 ，则
    当 时，只需要 ，解得 , 又 ，所以 ；
当 时，只需要 ，解得 ，又 ，
                所以 ；
    当 时，只需要 ，解得 ,与 矛盾.
    综上： .
师：找个同学来点评一下.
生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论 和 的情况.
师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较好.
生：加在中间.
师：很好，对于含参问题，我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类讨论还应做到不重不漏..
师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将它转化为一个函数问题来处理.
环节四：展望
    师：同学们，今天莅临我们课堂的还有一位神秘嘉宾，大家想不想见一下？
生：想.
师：掌声有请.
嘉宾：学弟，学妹们好，首先自我介绍一下，我是现在高三（15）班的刘今欣同学，很高兴走进学弟学妹们的课堂，和大家一起交流、学习.    
嘉宾：大家都知道一元二次函数是中考的压轴题，那么，我们今天学习的二次函数、二次方程和二次不等式在以后的高中学习中有什么作用呢？课前，陈老师给我布置了一个任务，让我归纳整理一下. 二次函数、二次方程和二次不等式在高中数学其它领域的应用. 其实三个“二次”及其相关问题的处理方法广泛应用于高中数学的各大核心模块：如数列、三角函数、立体几何、解析几何、导数等.

    下面重点以三个“二次”在解析几何中的应用为例，让同学们对三个“二次”在以后学习中的地位和作用有所了解.
    【案例1】直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 ，求实数 的取值范围.
     解：联立方程 ，消去 ，得到 的一元二次方程
                    ……①
         直线 与双曲线C的右支交于不同两点，等价于方程①有两个不相等的正实数根.

即对应二次函数图象与 轴有两个交点，且交点在 轴右侧. 我们可以通过以下几个条件控制二次函数的图象.

            解得 的取值范围是 ．
【案例2】（2016年江苏高考第19题）试题和答案如下：
     已知函数 ．
      ⑴ 设 ， ① 求方程 的根；
         ② 若对于任意 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值；
      ⑵ 略．
  解：⑴ ①  ，由 可得 ，
               则 ，即 ，则 ， ；
        ② 由题意得 恒成立，
           令 ，则由 可得 ，
           原问题等价于不等式 ，对任意的 在 上恒成立，
       记 ，
    当对称轴 ，即 时，显然成立；  
    当对称轴 ，即 时，只需 ，即 ；
        当对称轴 ，即 时，只需 ，与 矛盾；
    综上， ，所以实数 的最大值为 ．
   
    【案例3】（2016年全国Ⅱ卷文科高考第11题）试题和答案如下：
     函数 的最大值为
          （A）4     （B）5     （C）6     （D）7
     解：因为 ，而 ，所以当 时，取最大值5，  
    以上是最终可以转化为二次函数、二次方程和二次不等式的题目，其实还有更多的考题是考其他类型的方程、不等式问题，也可以用函数的观点，数形结合的思想来处理，如
    【案例4】（2016年山东卷文理高考第15题，填空压轴）试题和答案如下：
     已知函数  其中 ．若存在实数 ，使得关于 的方程 有三个不同的根，则 的取值范围是_______．
    解：画出函数图像如下图所示：                      
    由图所示，要 有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即 ，解得
时间关系，我暂时只讲这么多，欢迎同学们以后常来找我交流，预祝学弟学妹们早日适应华师一的学习. 也预祝大家在这个顶尖中学度过愉快而又成功的三年高中生活！
【评析】结课：从高中数学的核心问题中回望基础，让学生加深对三个“二次”作用的理解，并试图产生对进一步学习的期待.
师：很好，谢谢这位学长. 高中数学中的许多问题，都与三个“二次”直接有关或间接有关. 二次函数、二次方程和二次不等式的研究方法为研究其它函数、方程和不等式提供了套路. 以后，对于其它类型的方程和不等式问题，我们仍然可以用函数的观点来处理.
师：这里其实还蕴含着一种重要的数学思想方法，同学们说说，是什么？
生：数形结合，
师：著名数学家华罗庚专为数形结合思想写了一首诗，我们一起来朗诵一下.








二、教学反思
本课力图尝试在解决问题的过程中，让学生经过自主探究、合作学习和教师动态演示，完成知识的回顾、整合、提升、展望．通过教学实践，认识到多一点精心预设，就能融一份动态生成，体会到什么是由“关注知识”转向“关注学生”，注意到由“给出知识”转向“引起活动”，由“完成教学任务”转向“促进学生发展”．
可取之处：教学设计打破常规，不走寻常路，利用问题驱动完成本节课的教学目标，突出了以生为本，探索了衔接课的一种新模式．
    改进之处：本课在基本运算，用直观支持运算，以及通过展示未来课题让学生感悟运算价值等，都做了力所能及的工作. 但如何真正驱动学生在运算方面自觉探索、自觉积累、自觉训练，如何提高学生的运算素养，还有待于教学的创新.