3.4 函数的应用（一）

客观世界中的各种各样的运动变化现象均可表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把我相应的运动变化规律.

课程目标

1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、分段函数模型解决实际问题； 

2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性． 

数学学科素养

1.数学抽象：总结函数模型； 

2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数； 

3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值. ； 

4.数据分析：二次函数通过对称轴和定义域区间求最优问题； 

5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来。 

重点：运用一次函数、二次函数、分段函数模型的处理实际问题；

难点：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题．

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、 情景导入

我们学习过了一次函数、二次函数、分段函数等都与现实世界有紧密联系，请学生们举例说明与此有关的生活实例.

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、 预习课本，引入新课

阅读课本93-94页，思考并完成以下问题

1.一、二次函数、反比例函数的表达形式分别是什么？ 

2.分段函数模型的表达形式是什么？ 

3.解决实际问题的基本过程是？ 

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、 新知探究

1．常见的数学模型有哪些? 

(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);

 (2 )反比例函数模型:f(x)=+b(k,b为常数,k≠0);

(3)二次函数模型:f(x)=ax²+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);

(4)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛. 

2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行?

提示:第一步:分析、联想、转化、抽象;

第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;

第三步:解答数学问题,求得结果;

第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答. 

而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解. 

四、典例分析、举一反三

题型一    一次函数与二次函数模型的应用

例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒(　　)

A.2 000套 B.3 000套     C.4 000套 D.5 000套 

(2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.

①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;

③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?

【答案】（1）D    （2）见解析

【解析】(1)因利润z=12x-(6x+30 000), 所以z=6x-30 000,

由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套. 

 (2)①根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). 

②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 

所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x²+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N). 

③因为w=-3x²+360x-9 600=-3(x-60)²+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大. 

又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 

所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 

解题技巧：（一、二次函数模型应用）

1.一次函数模型的应用 

利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.

2.二次函数模型的应用 

构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.

跟踪训练一

1、商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:

①买一个茶壶赠一个茶杯;

②按总价的92%付款.

某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两种办法哪一种更优惠?

2、某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0≤t≤24).

①从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?

②若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.

【答案】见解析

【解析】　1. 解:由优惠办法①可得函数解析式为y₁=20×4+5(x-4)=5x+60(x≥4,且x∈N). 

由优惠办法②可得y₂=(5x+20×4)×92%=4.6x+73.6(x≥4,且x∈N). 

y₁-y₂=0.4x-13.6(x≥4,且x∈N), 令y₁-y₂=0,得x=34. 

所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;

当4≤x<34时,y₁<y₂,即优惠办法①更省钱; 当x>34时,y₁>y₂,优惠办法②更省钱. 

 2. 解:①设t小时后蓄水池中的存水量为y吨, 则 ,

令则即所以y=400+10x²-120x=10(x-6)²+40,

∴当x=6,即t=6时,y_min=40, 即从供水开始到第6小时时,蓄水池存水量最少,只有40吨.

②令400+10x²-120x<80, 即x²-12x+32<0, 解得4<x<8,即4<<8,

因为所以每天约有8小时出现供水紧张现象.

题型二   分段函数模型的应用

例2　一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示． 

(1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义； 

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象． 

【解析】解：（1）

阴影部分的面积为

阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.

（2）获得路程关于时间变化的函数解析式：  

图像如图

解题技巧：(分段函数注意事项）)

1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. 

2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. 

3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 

跟踪训练二

1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t- t²(万元). 

(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;

(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?

【解析】解:(1)当0<x≤5时,产品全部售出, 当x>5时,产品只能售出500件. 

所以,

所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值, f(x)max=10.781 25(万元).

当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元). 故当年产量为475件时,当年所得利润最大.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

七、作业

课本95页习题3.4

本节课主要就一次函数、二次函数、分段函数模型举例说明就函数的实际应用.在实际应用中，建立合适的函数模型,把实际应用问题转化为数学问题为关键点.