课堂环节

问题串

答（预设）

设计意图

一、知识回顾

我们学了哪些计数方法？

枚举法、分类计数原理、分步计数原理、排列、组合

为选择正确便捷的方法得出各项系数铺垫

二、创设情境

问题1：桶里有大小相同，质地相同的a、b两小球，有放回地取两次，有几种不同的取法？请分别用枚举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析.

枚举法：aa ab ba bb共4种

分步计数原理:第一步，第一次取球有两种方法；第二步，第二次取球有两种方法，所以一共22=4种.

分类计数原理：第一类，都取a，1种；第二类，取不同，2种；第三类，都取b，1种；共4种

回顾各种计数方法的思维过程和解题过程，保障后面能选取最便捷的方法，并且运用该方法能准确、快速地得到答案.

三、教授新课

问题2：请将逐项展开并整理，思考问题1与问题2的处理过程之间有何联系与区别？

同：展开的过程就是取小球的过程.

异：球ab、ba属两种方法，展开式中的ab、ba可合并同类项

取球是同学们极为熟悉的例子，解决该问题已经得心应手，并已深刻理解。将新问题回归到已掌握的知识上，便于新问题的解决.

问题3：将展开并整理后，各项的系数与取球问题有何联系？

整理后，各项系数即取球问题中分类记数原理的各类结果数.

初步体会展开式中系数的由来.

问题4：桶里有大小相同，质地相同的ab两小球，有放回地取三次，有几种不同取法？请分别用枚举法、分类计数原理、分步计数原理进行分析.

枚举法：（略）

分步记数原理：222=8

分类记数原理：第一类，三次都不取b，种；第二类，任一次取b,其他两次取a, 种；第三类，任两次取b,其他一次取a, 种；第四类，全都取b，种，即共+++=8种.

取两次的时候，学生可以用枚举法在转念间就解决问题，所以就会忽视了分类记数原理和分步记数原理对于解决该问题的优势，取三次就相对困难，让学生体会分类记数原理和分步记数原理对于解决多次取球问题的优越性.

问题5：谁能最快写出将展开整理后的多项式，并说出各项系数和？

再次理解取球过程与展开式的联系，特别是展开式各项的系数与取球过程中分类记数原理的联系、各项系数和与取球方法总数的联系.

练习：写出将展开并整理后的多项式，并说出各项系数和？？

巩固展开式各项、各项系数及系数和得出的方法.

问题6：将展开并整理后，有哪些项？为什么？

让学生体会从特殊到一般，归纳并证明的过程.

板书

项数：       第一项   第二项    …    第n+1项

项：               …   

二项式定理：

= + + …  +

二项式系数：             …     

二项式系数和：++…+=

问题7： 展开并整理后，各项的项数、次数有什么规律？你能根据规律归纳一个式子，可以用来表示其中任一项吗？

1.     a的次数与b的次数和为n；

2.     组合数上标与b的次数相同.

让学生在理解二项式定理得出的过程基础上，熟练掌握二项式定理的特点.

板书

项数：       第一项   第二项    …    第n+1项

项：               …   

二项式定理：

= + + …  +

二项式系数：             …     

二项式系数和：++…+=

通项：

四、数学史教育

在我国被称为贾宪三角或杨辉三角，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于杨辉的《详解九章算法》(1261)之中.在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》(1427)中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图.但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果.无论如何，二项式定理的发现，在我国比在欧洲至少要早300年.1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了的展开式.

五、课堂巩固

例  已知二项式

（1）请写出它的展开式；（2）请写出第4项的二项式系数；（3）请写出第4项的系数；（4）请写出含项的系数.

二项式定理的应用

（知识点的应用）

练：已知二项式

（1）求展开式第四项的二项式系数；（2）求展开式第4项的系数；（3）求展开式第4项；（4）求展开式中的有理项.

巩固基本知识、基本概念.

六、课堂提升

变式提升：请说出的展开式中（1）含项的系数；（2）含项的系数.

在理解二项式定理得出的思想方法基础上，运用该思想方法解决新问题，巩固该思想方法（思想方法的应用）

七、课堂小结

请大家思考：

1.本节课新学习的基本知识点；

2.本节课新知识点得出用了什么思想方法？

让学生回顾知识形成过程，梳理思路，自我归纳总结，形成良好的自主反思习惯

八、作业

1.探究：展开并整理后，有哪些项？

2.课本P31  T1~T4

3.课本P37  T3，T5

基本思想方法的应用提升

课堂基本知识点的应用