6.3.1 二项式定理  

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习二项式定理

二项式定理的形成过程是组合知识的应用，同时也为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。本课数学内容的本质：多项式乘法的深化与再认识。

课程目标	学科素养
A. 利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明； B.会应用二项式定理求解二项展开式； C.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力.	1.数学抽象：二项式定理 2.逻辑推理：运用组合推导二项式定理 3.数学运算：运用二项式定理解决问题 4.数学建模： 在具体情境中运用二项式定理

重点： 应用二项式定理求解二项展开式

难点：利用计数原理分析二项式的展开式

一、 问题探究

上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。

问题1：我们知道

 =a²+2ab+b²,

（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？

（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？

（3）进一步地，你能写出的展开式吗？

我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，

可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（ =0,1,2）的形式.

我们来分析一下形如的同类项的个数.

当=0时，=，这是由2个中都不选得到的，因此，出现的次数相

当于从2个中取0个（即都取）的组合数，即只有1个；

当=1时，= ，这是由1个中选，另一个选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即只有2个；

当=2时，= ，这是由2个中选得到的，因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个；

由上述

问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？

类似

1．二项式定理

(a＋b)ⁿ＝_________________________ (n∈N^*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)ⁿ的二项展开式，展开式中一共有______项．

(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

Cn(0)aⁿ＋Cn(1)a^n－1b＋Cn(2)a^n－2b²＋…＋Cn(k)a^n－kb^k＋…＋Cn(n)bⁿ

n＋1 ；Cn(k)

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)ⁿ展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作T_k＋1＝______.

k＋1 ；Cn(k)a^n－kb^k

二项式定理形式上的特点

(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.

(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.

(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2ⁿ,即+…+=2ⁿ.

(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)(a＋b)ⁿ展开式中共有n项． (　　)

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)

(3)Cn(k)a^n－kb^k是(a＋b)ⁿ展开式中的第k项． (　　)

(4)(a－b)ⁿ与(a＋b)ⁿ的二项式展开式的二项式系数相同． (　　)

[解析]　(1)×　因为(a＋b)ⁿ展开式中共有n＋1项．

(2)×　因为二项式的第k＋1项Cn(k)a^n－kb^k和(b＋a)ⁿ的展开式的

第k＋1项Cn(k)b^n－ka^k是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

(3)×　因为Cn(k)a^n－kb^k是(a＋b)ⁿ展开式中的第k＋1项．

(4)√　因为(a－b)ⁿ与(a＋b)ⁿ的二项式展开式的二项式系数都是Cn(r).

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、典例解析

课本例1.求的展开式.

解：根据二项式定理

+

1.(a+b)ⁿ的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.

类型1　求二项展开式

跟踪训练1　(课本例1补充)求⁴的展开式．

【解答】 方法一：⁴＝C4(0)(2)⁴·⁰＋C4(1)·(2)³·＋C4(2)·(2)²·²＋C4(3)·(2)·³＋C4(4)·(2)⁰·⁴＝16x²＋32x＋24＋x(8)＋x2(1).

方法二：⁴＝⁴＝x2(1)(2x＋1)⁴＝x2(1)[C4(0)(2x)⁴·1⁰＋C4(1)·(2x)³·1＋C4(2)·(2x)²·1²＋C4(3)·(2x)·1³＋C4(4)·(2x)⁰·1⁴]＝x2(1)(16x⁴＋32x³＋24x²＋8x＋1)＝16x²＋32x＋24＋x(8)＋x2(1).

【规律总结】 求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂．有时候在展开二项式之前，根据二项式的结构特征进行适当的变形，可使展开多项式的过程得到简化．

课本例2.（1）求的展开式的第4项的系数；

（2）求的展开式中的系数.

解：的展开式的第4项是

 

    

因此,展开式第4项的系数是280.

（2） 的展开式的通项是

根据题意，得，

因此，

二项式系数与项的系数的求解策略

(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.

(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)⁷的展开式中,第4项是T₄=1^7-3(2x)³,其二项式系数是=35,而第4项的系数是2³=280.

跟踪训练2(课本例2补充)已知在x(1)ⁿ的展开式中，第9项为常数项．

(1) 求n的值；

(2) 求展开式中x⁵的系数；

(3) 求含x的整数次幂的项的个数．

【解答】 二项展开式的通项T_k＋1＝Cn(k)x2(1)^n－k·x(1)^k＝.

(1) 因为第9项为常数项，即当k＝8时，2n－2(5)k＝0，解得n＝10.

(2) 令2n－2(5)k＝5，得k＝5(2)(2n－5)＝6，

所以x⁵的系数为(－1)⁶2(1)⁴C10(6)＝8(105).

(3) 要使2n－2(5)k，即2(40－5k)为整数，只需k为偶数，由于k＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．

【规律总结】 通项公式的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含x^r(或x^py^q)的项；③求常数项；④求有理项．其中求有理项时一般根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据整数的整除性来求解．另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以减少计算中的错误．

类型3　二项式定理的逆用

例3.　Cn(0)·2ⁿ＋Cn(1)·2^n－1＋…＋Cn(k)·2^n－k＋…＋Cn(n)等于(　C　)

A. 2ⁿ  B. 2ⁿ－1

C. 3ⁿ  D. 1

【规律总结】 逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．

　化简：1－2Cn(1)＋4Cn(2)－8Cn(3)＋…＋(－2)ⁿ·Cn(n)＝(－1)ⁿ.

【解析】 原式＝Cn(0)＋Cn(1)(－2)¹＋Cn(2)(－2)²＋Cn(3)(－2)³＋…＋Cn(n)(－2)ⁿ＝(1－2)ⁿ＝(－1)ⁿ.

课堂评价及时反馈

1. 若(x＋2)ⁿ的展开式共有11项，则n等于(　B　)

A. 9 B. 10

C. 11 D. 8

2. (2x－y)⁶的展开式中，x²y⁴项的系数是(　C　)

A. 30 B. －30

C. 60 D. －60

【解析】 由题意T_r＋1＝C6(r)(2x)^6－r(－y)^r，当r＝4时，x²y⁴项的系数是15×4＝60.

3. 在(x－)⁴的展开式中x²的系数为(　B　)

A. 6 B. 12

C. 24 D. 48

【解析】 (x－)⁴展开式的通项为C4(r)x^4－r·(－)^r，由4－r＝2，解得r＝2，则x²的系数为C4(2)(－)²＝6×2＝12.

4. x(1)⁶的展开式中的常数项为(　D　)

A. －540 B. －15

C. 15 D. 135

【解析】 二项式x(1)⁶的展开式的通项公式为T_r＋1＝C6(r)(3x)^6－r·x(1)^r＝(－1)^r·3^6－rC6(r)·r，r≤6，r∈N，由6－2(3)r＝0，解得r＝4，则T₅＝(－1)⁴×3²×C6(4)＝135，所以x(1)⁶的展开式中的常数项为135.

5. (多选)若在x(a)⁵的展开式中x²的系数为20，则a等于(　AB　)

A. －2(1)  B. 2(1) 

C. －  D.

【解析】 由题意得二项展开式的通项公式为T_r＋1＝，依题意，令5－2(3r)＝2，则r＝2，则C5(2)2³(－a)²＝20，解得a＝±2(1).

 

 

 

 

 

四、小结

五、课时练

这一节课面对的是高二年级的学生，这一学段的学生已经初步具备了多项式运算、计数原理、组合等相关知识储备，能够在教师的引导下理解并掌握本节课的内容，但在动手操作和合作学习等方面，有待进一步加强。

本节课需要学生探究的内容比较多，由于学生的数学基础比较薄弱，所以在教学过程中教师不仅要耐心的指导，还要努力创设一个轻松和谐的课堂氛围，让每个学生都能大胆的说出自己的想法，保证每个学生都能学有所得。为了让每个学生在课上都能有话说，还需要学生做到课前预习，并且教师要给学生提出明确的预习目标，这样，课上的探究过程就不会卡顿了。