6.2  组合

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主本节课主要学习组合与组合数.

排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是组合的理解，利用计数原理及排列数公式推导组合数公式，注意区分排列与组合的区别，难点是运用组合解决实际问题。

课程目标	学科素养
A. 理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别. B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中. C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.	1.数学抽象：组合的概念 2.逻辑推理：组合数公式的推导 3.数学运算：组合数的计算及性质 4.数学建模：运用组合解决计数问题

 

重点：组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题 

难点：组合与排列之间的联系与区别 

一、 问题探究

问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别？

分析：在6.2.1 节问题1的6种选法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午” 2种不同顺序的选法，我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学，然后再分配上午和下午而得到的.同样，先选出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动，就只需考虑选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：

甲乙、甲丙、乙丙.

从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组？

一、组合的相关概念

1.组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.

名师点析排列与组合的区别与联系

(1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素.

(2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.

1.校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？
（1）从中选3辆，有多少种不同的方法？
（2）从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法？

（1）与顺序无关，是组合问题；

（2）选出2辆给3位同学是有顺序的，是排列问题。

类型1　组合概念的理解

　在下列问题中，判断哪些是组合问题，哪些是排列问题．

(1) 从a，b，c，d四名学生中选出2名学生，有多少种不同的选法？

(2) 从a，b，c，d四名学生中选出2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？

(3) a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？

(4) a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？

【解答】 (1) 没有顺序，是组合问题．

(2) 2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．

(3) 单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．

(4) 争夺冠亚军是有顺序的，是排列问题．

【规律总结】 区分某一问题是组合问题还是排列问题，关键是看取出的元素是否有顺序，有顺序就是排列问题，没有顺序就是组合问题．

类型2　枚举组合数

　写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取出3个元素的所有组合．

【解答】 含A的三个元素有：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE；不含A含B的三个元素有：BCD，BCE，BDE；不含A，B的三个元素有：CDE.所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.

【规律总结】 要想列出所有组合，做到不重不漏，应先将元素按照一定的顺序排好，然后按顺序用枚举的方法将各个组合逐个地标出来．课本例5.平面内有A，B，C，D共4个点.
（1）以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？
（2）以其中2个点为端点的线段共有多少条？

分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑他们的顺序是排列问题；
（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序是组合问题.

解：（1）一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为=4×3=12.
这12条有向线段分别为

, , , , , ,

（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，

共有如下6条：
 AB,AC,AD,BC,BD,CD.

问题2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同” 为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？

进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？

类型3　无限制条件的组合问题

　(课本第22页例5补充)平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意三个点不共线．

(1) 试写出以其中任意两个点为端点的向量；

(2) 试写出以其中任意三点为顶点的三角形．

【解答】 (1)  以其中任意两个点为端点的向量由起点和终点构成，有顺序，是一个排列问题，共有向量：→(AB)，→(BA)，→(AC)，→(CA)，→(AD)，→(DA)，→(BC)，→(CB)，→(BD)，→(DB)，→(CD)，→(DC).

(2) 以其中任意三点为顶点的三角形没有顺序，是一个组合问题，共有△ABC，△ABD，△BCD，△ACD.

【规律总结】 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于，排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．

课堂评价及时反馈

1. 下列各事件中，属于组合问题的是(　C　)

A. 从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习

B. 从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上

C. 某同学从4门课程中选修2门

D. 从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员

2. (多选)下列是组合问题的是(　ABC　)

A. 5个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次

B. 平面上有2 022个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线

C. 集合{a₁，a₂，a₃，…，a_n}的含有4个元素的子集有多少个

D. 从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法

【解析】 对于A，每两人握手一次，没有次序，是组合问题；对于B，直线没有方向，是组合问题；对于C，集合中的元素具有无序性，是组合问题；对于D，选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有顺序，是排列问题．

3. 从2,3,4,5四个数中任取两个数作为对数式log_ab的底数与真数，得到的对数的个数有多少，是__排列__问题；若求两个数相乘得到的积有几种，则是__组合__问题. (填“排列”或“组合”)

【解析】 对数式log_ab的底数与真数有顺序，是排列，两个数相乘没有顺序，是组合．

4. 甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是(　C　)

A. 1   B. 2  

C. 3   D. 6

【解析】 车票票价只与距离有关，与顺序无关，是组合，共有甲乙，甲丙，乙丙3种票价．

5. 从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，所有不同的组合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.