6.2.1  排列数

二、排列数与排列数公式

1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做

   从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.

2.排列数公式:=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,这里m,n∈N^*,并且m≤n.

3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有=n(n-1)(n-2)×…×3×2×1.也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用n!表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成=n!.另外,我们规定,0!=1.

问题3. 你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗?它们有什么区别?

“排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一件事.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.

课本例3. 计算：（1）

解：根据排列

（1） 

（2） 

（3） 

（4）

由例3可以  

即

类型1　排列数公式及其应用

　(课本第19页例3补充)(1) 计算：9(5)；

(2) 解方程3Ax(3)＝2Ax＋1(2)＋6Ax(2)；

(3) 解不等式A8(x＋2)＜6A8(x).

【解答】 (1) 9(5)

＝8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5)

＝8×7×6×5×(24－9)(8×7×6×5×(8＋7))＝1.

(2) 由3Ax(3)＝2Ax＋1(2)＋6Ax(2)，

得3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)．

因为x≥3，且x∈N^*，

所以3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)，

即3x²－17x＋10＝0，

解得x＝5或x＝3(2)(舍去)，所以x＝5.

(3) 原不等式可化为(8－x－2)！(8！)＜6×(8－x)！(8！)，即x²－15x＋50＜0，

即(x－5)(x－10)＜0，

得5＜x＜10.又x≤8，(x＋2≤8，)

所以5＜x≤6，x∈N^*，所以x＝6.

【规律总结】 (1) 排列数的第一个公式An(m)＝n(n－1)·…·(n－m＋1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点．

(2) 排列数的第二个公式An(m)＝(n－m)！(n！)适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“m≤n且n∈N^*，m∈N^”的运用．

 

课本例4.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

分析：在0~9这10个数字中，因为0不能在百位上，而其他9个数字可以在任意数位上，因此0是一个特殊的元素。一般地，我们可以从特殊元素的位置入手来考虑问题。

解法1：由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：

第1步，确定百位上的数字可以从1~9这9个数字中取出1个，有种取法；第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数中取2个, 有种取法； 如图

根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为 9×9×8648.

解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：第1类，每一位数字都不是0的三位数，可以从1~9这9个数字中取出3个，有种取法；第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数中取出2个放在百位和十位，有种取法；第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.根据分类加法计数原理,所求三位数的个数为=9×8×7+9×8+9×8=648.

解法3：从0~9这10个数字中选取3个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，

即所求三位数的个数为10×9×89×8648.

1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.

2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.

类型2　特殊元素、特殊位置问题

　(课本第19页例4补充)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数．

(1) 可组成多少个不同的四位数？

(2) 可组成多少个不同的四位偶数？

【解答】 (1) 根据题意分步完成任务：

第一步：排千位数字，从1,2,3,4,5这5个数字中选1个来排，有A5(1)＝5种不同排法；

第二步：排百位、十位、个位数字，从排了千位数字后剩下的5个数字中选3个来排列，有A5(3)＝5×4×3＝60种不同排法，所以组成不同的四位数有5×60＝300种．

(2) 根据题意分类完成任务：

第一类：个位数字为0，则从1,2,3,4,5这5个数字中选3个来排在千位、百位、十位，有A5(3)＝5×4×3＝60种不同排法；

第二类：个位数字为2或4，则0不能排在千位，有A2(1)A4(1)A4(2)＝2×4×4×3＝96种不同排法．

所以组成的不同四位偶数有60＋96＝156种．

【规律总结】 对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法是直接分步法；或按特殊元素当选情况(或特殊位置放哪个元素)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排列数，再从中减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法是间接法(排除法)．

类型3　“相邻”与“不相邻”问题

　3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数．

(1) 全体站成一排，男、女各站在一起；

(2) 全体站成一排，男生必须站在一起；

(3) 全体站成一排，男生不能站在一起；

(4) 全体站成一排，男、女各不相邻．

【解答】 (1) 男生必须站在一起是男生的全排列，有A3(3)种排法；女生必须站在一起是女生的全排列，有A4(4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A2(2)种排法．由分步计数原理知，共有A3(3)·A4(4)·A2(2)＝288种排队方法．

(2) 三个男生全排列有A3(3)种排法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排列，有A5(5)种排法．故有A3(3)·A5(5)＝720种排队方法．

(3) 先安排女生，共有A4(4)种排法；男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A5(3)种排法，故共有A4(4)·A5(3)＝1 440种排法．

(4) 排好男生后让女生插空，共有A3(3)·A4(4)＝144种排法．

　某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有(　C　)

A. 72种 B. 48种

C. 36种 D. 24种

【解析】 首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有A3(3)＝6种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有A3(2)＝6种排法，则后六场开场诗词的排法有6×6＝36种．

【规律总结】 元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在普通元素之间及两端插入不相邻元素．

课堂评价及时反馈

1. 89×90×91×…×100可表示为(　C　)

A. A100(10)  B. A100(11) 

C. A100(12)  D. A100(13)

【解析】 A100(12)＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.

2. 已知An＋1(2)－An(2)＝10，则n的值为(　B　)

A. 4 B. 5

C. 6 D. 7

【解析】 由An＋1(2)－An(2)＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，得2n＝10，所以n＝5.

3. 甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则不同的排法有(　B　)

A. 24种 B. 6种

C. 4种 D. 12种

【解析】 甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，则只需对剩下3人全排列即可，则不同的排法有A3(3)＝3×2×1＝6(种)．

4. (多选)满足不等式n(5)>12的n的值可能为(　ABC　)

A. 12 B. 11  

C. 10 D. 8

【解析】 由排列数公式得(n－7)！·n！(n！·(n－5)！)>12，则(n－5)·(n－6)>12，解得n>9或n<2(舍去)．因为n∈N^*，所以n可以取10,11,12.

5. 春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__144__种．

【解析】 将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有3A2(2)种方式，再将剩余节目排序，有A4(4)种方式，所以不同的排序方式有3A2(2)A4(4)＝144(种)．

 

四、小结

五、课时练

 

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。