6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(1)

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第三册》，第六章《计数原理》，本节课主要学习分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

两个计数原理，其核心是准确理解两个原理，弄清它们的区别。理解它关键就是要根据实例概括两个计数原理。学生对计数问题已经有一些经验和技巧，本节课的内容分类计数原理和分步计数原理就是在此基础上的发展。由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础,所以在本学科计数问题中有重要的地位，是本学科的核心内容。教学的重点是两个原理的理解与应用，解决重点的关键是从单一到综合，恰当安排实例。

课程目标	学科素养
A.通过实例能归纳总结出分类加法计数原理与分步乘法计数原理; B.正确理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征,选择“分类”或“分步”. C.能利用两个原理解决一些简单的实际问题.	1.数学抽象：两个计数原理 2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题 3.数学运算：运用计数原理解决计数问题 4.数学建模：将计数问题转化为分类和分步计数问题

 

重点： 分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其简单应用

难点： 准确应用两个计数原理解决问题

一、 问题导学

     计数问题是我们从小就经常遇到的，通过列举一个一个地数是计数的基本方法，但当问题中的数量很大时，列举的方法效率不高，能否设计巧妙的“数法”，以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题，并尝试从中得出巧妙的计数方法.

问题1.   用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.

问题2.你能说说这个问题的特征吗？

上述计数过程的基本环节是：

（1）确定分类标准，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；

（2）分别计算各类号码的个数；

（3）各类号码的个数相加，得出所有号码的个数.

你能举出一些生活中类似的例子吗？

一般地，有如下分类加法计数原理：

完成一件事，有两类办法. 在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有:N= m+n种不同的方法.

二、典例解析

例1.在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，如表，

A大学	B大学
生物学	数学
化学	会计学
医学	信息技术学
物理学	法学
工程学

  如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择？

分析:要完成的事情是“选一个专业” .因为这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又因为这两所大学没有共同的强项专业，所以符合分类加法计数原理的条件.

解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所，在A大学中有5种专业选择

 方法，在B大学中有4种专业选择方法，因为没有一个强项专业是两所大学共有的，所以根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数N=5+4=9.

利用分类加法计数原理解题的一般思路

(1)分类:将完成这件事的办法分成若干类;

(2)计数:求出每一类中的方法数;

(3)结论:将每一类中的方法数相加得最终结果.

问题3. 如果完成一件事有三类不同方案，在第一类方案中有 m₁种不同的方法，在第二类方案中有m₂种不同的方法，在第三类方案中有m₃种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情有N类不同方案，在每一类中都有若干种不同的方法，那么应该如何计数呢？

分类加法计数原理：完成一件事,如果有n类办法,且:第一类办法中有m₁种不同的方法,第二类办法中有m₂种不同的方法……第n类办法中有m_n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m₁+m₂+…+m_n种不同的方法.

类型1　分类加法计数原理的应用

跟踪练习　(课本第3页例1补充)(1) 从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为(　B　)

A. 1＋1＋1＝3 B. 3＋4＋2＝9

C. 3×4×2＝24 D. 以上都不对

【解析】 分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3＋4＋2＝9种不同的走法．

(2) 现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有(　C　)

A. 6种 B. 5种

C. 4种 D. 3种

【解析】 若选甲、乙两人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法．若选甲、丙两人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法．若选乙、丙两人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法，故共有2＋1＋1＝4种不同的选派方法．

【规律总结】 用分类加法计数原理解题应注意：

(1) 明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事．

(2) 分类加法计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉．

(3) 若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空集，并集为全集．

问题4.   用前6个大写的英文字母和1~9个阿拉伯数字，以A₁， A₁，…A₉，B₁，B₂，…的方式给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

解：方法一：解决计数问题可以用“树状图”列举出来

方法二：由于6个英文字母中的任意一个都能与6个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码.

问题5.你能说说这个问题的特征吗？

上述计数过程的基本环节是：

（1）由问题条件中的“和”，可确定完成编号要分两步；

（2）分别计算各步号码的个数；

（3）将各步号码的个数相乘，得出所有号码的个数.

你能举出一些生活中类似的例子吗？

例2.设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参

加比赛，共有多少种不同的选法？

分析:选出一组参赛代表，可分两步：第一步, 选男生；第二步,选女生.

解：第一步,从30名男生中选出1人,有30种不同选择；

第二步,从24名女生中选出1人,有24种不同选择；

根据分步计数原理，共有 30×24=720种不同方法.

问题6. 如果完成一件事有三个步骤, 做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

N＝m₁×m₂×m₃

如果完成一件事需要有n个步骤,做每一步中都有若干种不同方法,那么应当如何计数呢?

如果完成一件事需要n个步骤，做第1步有m₁种不同的方法，做第2步有m₂种不同的方法，…,做第n步有m_n种不同的方法,那么完成这件事的方法总数如何计算？

分步乘法计数原理一般结论：

N＝m₁×m₂×…×m_n

类型2　分步乘法计数原理的应用

跟踪练习2(课本第4页例2补充)已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：

(1) 点P可表示平面上多少个不同的点？

(2) 点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？

【解答】 (1) 确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法. 根据分步乘法计数原理，得点P可表示平面上不同的点共有6×6＝36个．

(2) 确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，因为a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，因为b＞0，所以有2种不同方法. 由分步乘法计数原理，得点P可表示平面上第二象限内不同的点共有3×2＝6个．

【规律总结】 用分步乘法计数原理解题应注意：

(1) 要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．

(2) “步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．

(3) 若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．

例3.书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.

(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?

(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种不同取法?

(3)从书架上取2本不同学科的书,有多少种不同的取法?

解：（1）根据分类加法计数原理可得：N＝4＋3+2＝9；

（2）根据分步乘法计数原理可得：N＝4 ×3×2＝24；

（3）需先分类再分步.

第一类：从一、二层各取一本，有4×3=12种方法；

第二类：从一、三层各取一本,有4×2=8种方法；

第三类：从二、三层各取一本,有3×2=6种方法；

根据两个基本原理，不同的取法总数是

N=4×3+4×2+3×2=26

答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.

类型3　两个计数原理的结合应用

跟踪练习3(课本第5页例3补充)某人有4枚明朝不同年代的古币和6枚清朝不同年代的古币．

(1) 若从中任意取出1枚，则有多少种不同的取法？

(2) 若从中任意取出明、清古币各1枚，则有多少种不同的取法？

【解答】 从10枚不同的古币中，取出1枚为明朝的古币有4种不同的取法，取出1枚为清朝的古币有6种不同的取法，由分类加法计数原理可知，共有4＋6＝10种不同的取法．

(2) 分两步进行，第一步，从4枚明朝的古币中取出1枚，有4种不同的取法；第二步，从6枚清朝的古币中取出1枚古币，有6种不同的取法．由分步乘法计数原理知，共有4×6＝24种不同的取法．

　现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．

(1) 从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？

(2) 从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？

【解答】 (1) 分为三步：国画、油画、水彩画分别有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．

(2) 分为三类：第一类是一幅选自国画，一幅选自油画. 由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．所以共有10＋35＋14＝59种不同的选法．

【规律总结】 两个计数原理结合解决问题的一般思路：

(1) 弄清完成一件事是做什么．

(2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类．

(3) 弄清分步、分类的标准是什么．

(4) 利用两个计数原理求解．

应用分步乘法计数原理解题的一般思路

四、小结

两个原理的联系与区别

1.联系:分类加法计数原理和分步乘法计数原理都是解决计数问题最基本、最重要的方法.

2.区别

	分类加法计数原理	分步乘法计数原理
区别一	完成一件事共有n类办法,关键词是“分类”	完成一件事共有n个步骤,关键词是“分步”
区别二	每类办法中的每种方法都能独立地完成这件事,它是独立的、一次的且每种方法得到的都是最后结果,只需一种方法就可完成这件事	除最后一步外,其他每步得到的只是中间结果,任何一步都不能独立完成这件事,缺少任何一步也不能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才能完成这件事
区别三	各类办法之间是互斥的、并列的、独立的	各步之间是关联的、独立的,“关联”确保不遗漏,“独立”确保不重复

 

五、课时练

课堂评价及时反馈

1. 把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有(　A　)

A. 4种   B. 5种

C. 6种   D. 7种

【解析】 分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆至少1个，只有2种分法，即1和4,2和3两种方法．三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆至少1个，只有2种分法，即2和4,3和3两种方法．三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的．所以不同的分法共有2＋2＝4种．

2. 晓芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙. “五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则晓芳选择穿衣服的不同方式有(　B　)

A. 24种 B. 14种

C. 10种 D. 9种

【解析】 首先分两类. 第一类是穿衬衣和裙子，由分步乘法计数原理知共有4×3＝12种．第二类是穿连衣裙有2种，所以由分类加法计数原理知共有12＋2＝14种不同的穿衣服方式．

3. 如图，从甲地到乙地有3条公路可走，从乙地到丙地有2条公路可走，从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走，则从甲地经过乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为(　A　)

(第3题)

A. 6,8 B. 6,6

C. 5,7 D. 6,2

【解析】 根据分步乘法计数原理，可知从甲地经过乙地到丙地的走法种数为3×2＝6.又从甲地不经过乙地到丙地有2条水路可走，由分类加法计数原理，可知从甲地到丙地的走法种数为6＋2＝8.

4. (多选)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是(　ABD　)

A. 从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法

B. 从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法

C. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法

D. 从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有90种不同的选法

【解析】 对于A，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有7＋3＝10种不同的选法，故A正确；对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有7×3＝21种不同的选法，故B正确；对于C，D，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有10×9＝90种不同的选法，故C错误，D正确．

5. 有一项活动，需要在3名老师、8名男同学和5名女同学中选人参加．

(1) 若只需1人参加，则有__16__种不同的选法．

(2) 若需要老师、男同学、女同学各1人参加，则有__120__种不同的选法．

(3) 若需要1名老师、1名学生参加，则有__39__种不同的选法．

【解析】 (1) 只需一人参加，有三类：第一类选老师，有3种不同的选法；第二类选男生，有8种不同的选法；第三类选女生，有5种不同的选法. 共有3＋8＋5＝16种不同的选法．

(2) 需老师、男同学、女同学各一人，则分3步，第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选男生，有8种不同的选法；第三步选女生，有5种不同的选法. 共有3×8×5＝120种不同的选法．

(3) 第一步选老师，有3种不同的选法；第二步选学生，有8＋5＝13种不同的选法．共有3×13＝39种不同的选法．

 

 

 

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是综合应用两个计数原理，产生这一问题的原因是不能根据问题的特征选择对应的原理。要解决这一问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出两个计数原理，然后从单一到综合的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生体会两个计数原理的基本思想。