三角函数的图象与性质

                             —正弦函数、余弦函数的图象

教材分析

学生学情分析

教学目标设置

教学目标

（1）经历绘制正弦函数图象的过程，掌握描点法，掌握绘制正弦函数图象的“五点法”。

（2）经历绘制余弦函数图象的过程，理解其中运用的图象变换的思想。

教学重难点

重点：正弦函数、余弦函数的图象。

难点：掌握准确绘制函数图象一个点方法，并由此绘制出正弦函数的图象。

教学过程

一．规划研究方案，形成研究思路

问题1.通过幂函数、指数函数、对数函数的学习，你能说说研究函数基本过程与方法吗？

师生：函数研究的一般方法为由背景抽象出数学概念（具体函数），再画出函数图象，进而由图象得出函数性质，最后将具体函数作为模型加以应用，其结构图如图所示，

前面我们感受了周期现象，并抽象出了刻画周期现象的重要数学模型—三角函数，今天一起来学习三角函数的图象与性质—正弦函数、余弦函数的图象．（引出课题，板书）

追问1.绘制一个新函数—三角函数的图象的基本方法是什么？

生：描点法。

追问2.根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？

选择哪一个区间即可？

（设想：此处结合自制教具：一个用于板书（板书的可以直接画在黑板上，附带上正弦函数的定义）；一个用于展示（展示的握手里展示单位圆上任一点的旋转）；）

师生：从图象直观上看，点B每旋转一周就回到原来的位置，体现了三角函数周而复始的特性；

从函数角度来看，自变量每增加或减少2π个单位长度，函数值将重复出现，你能用公式表示这一特性吗？

这一特性已经用表示

这一特性对我们研究正弦函数的图象有何帮助？

据此，可以简化对正弦函数、余弦函数图象与性质的研究过程。

比如可以先画正弦函数的图象，再画出函数的图象。

二．正弦函数的图象

1.探究函数的图象

问题2.图象的基本要素是点，利用正弦函数的定义，在[0,2π]上任取一值x₀,能否确定函数值sinx₀,画出点T(x₀,sinx₀)

追问1.根据正弦函数的定义思考，一个点的横坐标x₀在单位圆上表示哪个几何量？Sinx₀的几何意义又是什么？

师生活动：教师引导学生，根据定义分析确定x₀,sinx₀对应的几何量。

在单位圆中，将点A绕着点O旋转x₀弧度至点B，根据正弦函数的定义，点B的纵坐标，由此，以x₀为横坐标，为y₀纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x₀,sinx₀)

点T(x₀,sinx₀)的横坐标x₀的本质是以OA为始边，以OB为终边的角，因此，弧长ACB=x_0。

过点B作x轴的垂线，垂足为M，则线段BM的长即为sinx₀的绝对值。

追问2.根据上述分析，如何具体地作出点T(x₀,sinx₀)？

师生活动：教师和学生讨论后，共同通过提前准备的工具尝试绘制这个点。

教师黑板展示“手工细线缠绕”法

在[0,2π]上任取一值x₀，用“手工细线缠绕法”找到弧长为x₀的弧所对的圆心角x₀，确定函数值sinx₀，画出点T（x_o,sinx₀）。

找一根没有弹性的细线，在x轴上量出横坐标x。的长度、然后将长度为x。的细线以A为起点沿逆时针方向缠绕在单位圆上、细线的末端就是B.
于是图象上的点（x_o,sinx₀）随之确定。

师：掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的，足够多的点进行描点。

将x轴上0到2π这一段分成12等份，使x₀的值分别为0，...2π，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T(x₀,sinx₀)的办法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点。

（此处设置学生活动单，以小组为单位，作出12个点，再连点描线，选小组代表上台展示）

师：事实上，利用信息技术，可使x₀在区间[0,2π]上取到足够多的值而画出足够多的点T(x₀,sinx₀)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数的图象。

教师借助信息技术

问题3.根据函数的图象，你能想象的图象吗？依据是什么？画出该函数的图象。

师生活动：学生画图，教师予以指导。

教师借助信息技术作出的图象，再作出[2π，4π]，[-2π，0]的图象，引导学生观察联系与区别。

预设答案：根据公式一，可知函数的图象与的图象形状完全一致。因此将的图象不断向左、右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数的图象，如图所示。

师：正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线。

追问1.当正弦函数的图象确定时，如何较快作出其简图，应抓住哪些关键点？

师生活动：教师提出问题，引导学生观察图，并说出他们的想法。

预设回答：观察图，在的图象上，图象的最高点与最低点，图象与x轴的交点：五个点在确定图象形状时起关键作用。因此只要描出这五个点，按照正弦函数图象的走势，并用光滑的曲线将之连接就可以画出函数的简图，简称“五点法”作图。

三．余弦函数的图象

问题4.如何画出余弦函数的图象？

预设答案：学生类比正弦函数的作图方法，提出用类似的方法作出余弦函数的图象；

（若学生提出这一想法，布置课外探究作业：请感兴趣的同学可够可以找相关的资料看看）

师：由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数。下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象。

追问：诱导公式表明，余弦函数和正弦函数可以互化。

相应地，能否通过对正弦函数图象进行变换得到余弦函数的图象？

师生活动：教师引导学生通过比较进行选择，

从数的角度看，可以选择关系

可知的图象即为函数的图象，

只需将函数的图象向左平移π/2个单位长度，

即可以得到函数的图象，即函数的图象。

此处教师借助信息技术展示由正弦函数平移得到余弦函数的过程

师：余弦函数的图象叫做余弦曲线。它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续曲线。

探究：类似于用“五点法”画正弦函数的图象，找出余弦函数在区间[-π，π]上相应的五个关键点，将它们的坐标填入活动单，然后画出的简图，

设置活动单（设置1.12等分单位圆与数轴作出正弦函数图象2.余弦函数图象平移3.五点法正、余弦函数的表格）

四．例题

例1.画出下列函数的简图

                    

思考：你能利用函数的图象，通过图象变换得到的图象吗？

同样地，利用函数的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数的图象？

五．小结

请你谈谈本节课的收获、体会和感受

知晓了研究函数的一般方法

明确了函数作图关注的环节

会画出正弦函数与余弦函数的图象