任意角

师：（PPT展示）地球自转引起的昼夜交替变化、公转引起的四季交替变化，月亮圆缺，潮汐变化，这些都是具有哪类规律的现象?

生：周期性的变化规律。

师：生活中还有没有类似的现象，请再举几例？

生：物理中的单摆运动、匀速圆周运动；生活中一周七天，摩天轮的运动等。

师：本章我们学习的三角函数，就是刻画这样的周期现象。类比指数函数、对数函数、幂函数的研究，本章我们将按照三角函数的定义、图象、性质与应用的路径展开学习。

圆周运动是一种常见的周期性变化。

圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，如何刻画点P的位置变化呢？

（此处展示点P运动的动图）

（图一）

生：可以借助角的大小变化刻画点P的位置关系

师：初中所学的角如何定义？初中的角的范围是什么？
生：静态定义是“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角"，

动态定义是“由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形"．

范围是0°到360°.
师：以往对角的认识是否存在局限？请结合具体实例谈一谈
生：有局限。比如跳水运动员空中转体1080°，超出了0°~360°的范围。

(此处展示跳水运动员动作图片和图一动图以提示学生)

师：很明显，0°~360°旋转量不够。
生：有局限，两个齿轮旋转过程中，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮和主动轮有相反的旋转方向。

（此处展示教材中两个齿轮旋转和图一动图反方向动图的示意图）

（若学生无法感知旋转方向的变化，预设情况：手表走慢了调快是顺时针旋转；走快了调慢是逆时针旋转）

师：同样，旋转方向也有所不同。
师：于是我们发现，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广，需要将“角”推广为“任意角”.

（板书课题《任意角》）

一．任意角

我们尝试从“旋转量”和“旋转方向”两个方面出发，给出推广后的定义。

正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。

（此处可以请同学补充）

负角：一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。

老师介绍：此过程类似正数扩充到有理数时，引入负数，用正、负数来区分两个意义相反的量。

同样，类比有理数分类为正数、负数、零，角除了正角、负角还应有？

请另一同学补充

零角：如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。零角的始边与终边重合。

二．任意角的关系与运算

问题：既然角的推广类似于有理数的推广，那么能否类比有理数的研究内容与方法，研究任意角的关系和运算？

请同学们阅读教材168-169，并完成表格。

（先学生自己阅读，再进行小组讨论，共同完成表格）

为了方便研究角，有必要将角放在一个统一的标准下讨论．

问题：实数可以放在数轴上研究，那么角可以借助什么去研究？

直角坐标系；

追问1把角放到平面直角坐标系中，如何放置既简单又合理？

使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；
追问2不同的角放到平面直角坐标系中，什么是一样的？什么是不一样的？

角的顶点位置与始边是一样的，终边是不一样的。

那么我们是否可以根据角的终边进行恰当的分类？

三．象限角

在直角坐标系内，角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角就是第几象限角。如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限。

探究：试一试，在同一直角坐标系内作出下列角：并判断它们分别是第几象限角？

追问1从图形上看，角30°的终边如何旋转得到角390°，-330°？

角30°的终边按顺时针旋转可得390°，按逆时针旋转可得-330°

追问2从数量上看，与角30°终边相同的角有什么关系？

相差360°的整数倍

追问3与角30°终边相同的角如何表示？

问题：与角终边相同的角如何表示？

四．终边相同的角

所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合

，

即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。

问题：任意给定一个角，有唯一的一条终边与之对应吗？

反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？

任意给定一个角，有唯一的一条终边与之对应；

反之，给定一条终边，以它为终边的角不唯一，它们之间存在整数个周角的关系。

例题：

例1. 在0°~360°范围内，找出与-950°角终边相同的角，并判定它是第几象限角？

变式：-950°12’

小结：

问题：请回忆本节课学了哪些内容？并尝试构建任意角的知识结构图．
师生活动回顾本节课的学习过程，组织学生交流学习收获和体会，引导学生自主构建本节课的思维导图，厘清知识脉络，形成任意角知识体系。