幂函数、指数函数、对数函数说课稿

一、明确单元及其包含的知识内容；

单元：幂函数、指数函数、对数函数

包含的知识内容：幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象与性质

选择理由：1.幂函数、指数函数和对数函数从代数运算的统一性高度来认识，提高了站位，有利于单元整体教学的展开。（章头图如右）

2.将单元内容圈定为幂函数、指数函数和对数函数的概念、图象与性质，有利于帮助学生形成研究函数的一般方法：由背景通过数学抽象出具体函数，再由数学推理推演出函数的图象与性质，最后将其作为模型应用于实际问题。这一处理更加凸显数学核心素养：数学抽象、数学推理和数学模型，即数学抽象和思想模型是沟通真实世界和数学的桥梁，数学推理则是数学内部系统化的思维过程。

3.采用苏教版的体例，将指数运算和对数运算单独成章，关注数学运算素养的培养，在此基础上着重研究三类函数的概念、图象和性质，主题和指向性更加明确。

二、单元整体分析

数学的理解

函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题中发挥重要作用.

函数的概念从初中的“变量说”发展到高中的“对应关系说”，再到大学的“关系说”，是一个逐步抽象的过程。

“变量说”和“对应关系说”可以认为是认识函数概念的两个角度，但更重要的是两个层次的抽象。“变量说”比较形象、直观，与“变化过程”联系紧密；“对应关系说”进一步舍弃了运动变化背景，抽象为两个实数集元素之间的对应关系，不仅可以研究一类函数的性质、函数之间的关系，还可以研究不同函数类的关系，对不同函数类进行运算等，从而极大地拓展了函数的研究视野、函数的应用范围.

函数性质的研究方法，强调代数运算和图象直观的综合运用，即进一步加强数形结合的方法.初中主要通过图象直观给出函数性质的定性描述，代数运算的加强，使得函数的性质得到了定量刻画，导数的引入，实现了函数性质的精确刻画.

课标的理解

函数是贯穿高中数学课程的主线.函数的概念和性质的学习路径为函数的概念——函数的性质——函数的应用.通过学习，学生学会了一套“数学的话语方式”，接下来就是运用这套话语方式，从客观世界的变量关系和规律中去抽象基本初等函数，用函数的语言表达，用图象直观和代数运算的方法研究性质，并用于解决数学内外的问题.这个过程既是函数一般概念的应用，同时也在应用过程中加深函数概念的理解.

帮助学生学会用图象直观和代数运算的方法研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（周期性的模型）等连续性函数，数列等离散型函数.这些具体函数具有基础性地位，不仅应用，而且是进一步学习数学的基础.

研究这些函数的方法是数形结合的方法，即代数运算和图象直观.

让学生理解函数中蕴含的运算规律，如指数的运算律，三角运算等.

加强运用这些函数建立模型解决实际问题.

核心素养：数学抽象、数学模型、逻辑推理、数学运算、直观想象

幂函数、指数函数和对数函数的图象与性质的学习则主要侧重于逻辑推理、数学运算和直观想象等核心素养。

教材分析

1.人教A版

教材将函数单元分为函数的概念和性质、指数函数和对数函数、三角函数三章，其中幂函数归入函数的概念和性质一章，作为函数的概念和性质的直接应用，淡化了三角恒等变换，强化了模型的建构和应用。

幂函数定位于函数性质的简单应用，幂函数概念的形成采用特殊到一般的方式获得，是数学抽象的过程，同时又是一种归纳推理。（以五种常见的函数为载体）整个过程体现一种重要的数学思想方法——类思想，以彰显数学的文化价值。通过探究栏目的设置，提供研究函数的内容、方法和路径，同时加强了函数之间的联系。（如：和函数）

函数阅读与写作，提升学生的阅读写作能力，同时渗透数学文化。

指数函数和对数函数单元的定位：帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究指、对函数的性质，理解它们所蕴含的运算规律，运用它们建立模型，解决实际问题。

指数函数：包括指数运算和指数函数两大部分。指数运算旨在对指数范围的扩充，属于数学运算的范畴。指数函数从真实情境中抽象而来，有利于培育数学抽象素养。

定义一类函数，应该明确4个要点：

（1）现实背景是什么？它刻画了哪类运动变化现象？

（2）决定这类运动变化现象的要素是什么？

（3）要素之间的相互关系如何？

（4）可以用怎样的数学模型来刻画？

指数函数的图象与性质的研究过程充分展示了函数图象和代数运算的结合，体现了数形结合的思想。教材从描点法开始，画出y=2^x和y=2^-x的图象，并通过代数运算揭示内在联系。并“类思想”得出y=a^x的图象，并由图象得出指数函数的性质。信息技术的应用让学生动态地，直观地理解底数a对指数函数图形的影响，同时介绍了geogebra的使用方法。

对数函数：对数的概念和运算主要培育数学运算素养。

对数函数抽象的过程建立在对数与指数的内在关联上，这是对数函数抽象过程的“与众不同”的地方。“探究”与“探究与发现”栏目的设置，要求教师在对数函数教学中应加强从反函数角度发现和提出问题的引导。这是逆向思维的典范，而“反过来会怎样？”就是学会数学地发现和提出问题的表现之一。

对数函数的图象可以从描点和反函数关系两个角度入手，进一步体会数形结合的思想和“类思想”。

以形助数，以数论形成为对数函数的研究方法，通过代数运算得出指数函数、对数函数的性质，从代数关系获得函数图象之间的某些特征。

“不同函数增长的差异”让学生体会“直线上升”、“对数增长”和“指数爆炸”的含义。它们之间比较的方式和路径的设计是必须引起重视的。教材主要通过列表和图象两个方面，从直观的角度让学生去体会。

2.沪教版

沪教版教材将幂函数、指数函数和对数函数作为一个研究单元，以此为载体，让学生学会研究函数的一般方法。

幂函数，教材以例题的方式展示了研究幂函数的一般方法（一般程序），侧重于由数到形的研究路径，即先研究幂函数的性质，在绘制幂函数的图象。教材还特别关注函数之间的关系（和函数、平移，对称变换）。

指数函数的研究则倾向于由形到数的的研究路径，即先绘制特殊的指数函数图象，由图象归纳出指数函数的性质，再以指数函数为模型应用于实际生活（数学模型）。

值得一提的是，绘制指数函数图象的时候，传统的描点法不可或缺，信息技术更应充分利用，可以展示底数a对指数函数的影响，体现“类思想”。

“借助计算器观察函数递增的快慢”一方面体现了信息技术的应用，另一方面让学生体验指数增长的飞速。

对数函数位于高一下册，对数的概念和对数的运算比其他教材更为详尽，体现了对数学运算素养的重视。反函数专辟一节，位于对数函数之前，起到了铺垫的作用，符合学生的认知规律，对数函数的图象绘制即通过互为反函数的关系来实现的。

3.苏教版

函数的概念和性质一章，包括函数的概念、单调性和奇偶性。幂函数、指数函数、对数函数组成一章。指数与对数运算单独成章。

4.湘教版

幂函数、指数函数和对数函数从代数运算的统一性高度来认识，提高了站位，有利于单元整体教学的展开。

幂函数的图象与性质，侧重于代数运算，图象直观只关注5类具体函数，不推广至一般情形，贴合课程标准的要求，“类思想”体现明显。

指数函数的概念源于丰富的真实情境，“指数爆炸”和“指数衰减”是两个重要形式，数学抽象素养的培养落到实处。

指数函数的图象与性质，指数函数的性质源于幂运算的性质，从代数运算推导指数函数的性质是湘教版的一大特色——“有了这样基本的理性认识，就能够在作图之前预见到图象的大致模样，等到图象出来，对照栩栩如生的曲线来检验自己的想法，就更为亲切，更有成功感。”

对数函数的图象与性质，从指数函数与对数函数的关系入手，利用反函数来获得对数函数的图象，从而得出对数函数的性质，过程清晰明了，但反函数的理解尚需一个过程。对数和对函数的应用非常广泛，是数学文化重要的载体。

值得一提的是，习题设置的三个栏目，（学而时习之、温故而知新、上下而求索）符合学生的认知规律，和中国文化有机结合，读来倍感亲切。

5.北师大版

奇偶性和简单的幂函数合为一节，对函数奇偶性的笔墨相对偏少，对简单的幂函数，严格控制在5个常见函数，更关注了奇偶性的应用价值——简化函数的研究范围，以幂函数和分段函数为例。

指数幂的扩展和指数幂的运算，对数学运算提出了新的要求。

指数函数，指数函数的概念一笔带过，直截了当，并从代数运算的角度给出两个性质，也即知晓了图象的大致范围。

指数函数的研究将a分为两类，小步推进，分类研究，形成同构， 有利于模仿探究，值得提倡。作图采用描点法，让学生体验作图过程，体会“指数爆炸”。

对数，具有丰富的文化背景，教材做了大量的阐述，对数作为新的运算对象，教材从概念，运算法则和换底公式三个部分展开，对培养学生的数学运算素养起到了良好的导向作用。

对数函数，利用指数函数，直接给出对数函数的定义，并指出两者之间的关系——反函数。

对数函数的图象研究仍然采用小步推进的方式，先研究的图象，从描点法和互为反函数的图象关系两个角度作图。尤其是互为反函数的图象的角度，给出了一个完整的演变过程，值得借鉴。

信息技术的推广应用是北师大版教材的一大亮点。

价值——核心素养的提高

1.函数研究的一般方法为：由背景通过数学抽象出具体函数，再由数学推理推演出函数的图象与性质，最后将其作为模型应用于实际问题。因此，数学抽象和思想模型是沟通真实世界和数学的桥梁，数学推理则是数学内部系统化的思维过程。

2.本单元另一个内容是绘制函数图象，主要由描点法和函数间的关系两种方法，特别关注函数作图的两大类型（基本型（图象的大致走向和具体位置两个要素）和变换型（通过关系作图）），函数图象和代数运算相结合，是研究函数的有效方法。

3.“对应关系说”极大地拓宽了学生研究函数的视野，帮助学生掌握“类思想”，提高学生的归纳提炼的能力，从研究“个别”函数走向研究“一类”函数。

三、单元教学主题和目标

单元主题：积累学习幂函数、指数函数、对数函数的经验，形成研究函数的一般方法。

单元目标：（1）经历幂函数、指数函数和对数函数概念的形成过程，理解幂函数、指数函数和对数函数的概念，能从真实情境中抽象出数学概念。

（2）通过对幂函数、指数函数和对数函数图象和性质的探究，提炼函数作图的基本要素，体会数形结合的思想。

（3）通过对幂函数、指数函数和对数函数等知识结果的理解，提高学生的归纳提炼的能力，促进学生从研究“个别”函数走向研究“一类”函数，帮助学生掌握“类思想”。

（4）运用幂函数、指数函数、对数函数建立模型，解决简单的实际问题，体会它们在解决实际问题中的作用。

（5）通过数学文化的挖掘，使学生理解数学思想方法，崇尚科学精神，体悟数学之美。

本单元旨在积累学习幂函数、指数函数、对数函数的经验，形成研究函数的一般方法。主要提升学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理和直观想象素养。

四、教学阶段划分及每个阶段在实现单元目标时所发挥的作用。

本单元分四个阶段，①幂函数（1课时）——②指数函数（2课时）——③对数函数（2课时）——④小结（2课时）

第一阶段:幂函数（1课时）

阶段目标：

以幂函数为载体，理解研究一类函数的内容、基本思路（定义——图象与性质——应用）和方法，学会从不同的角度看问题。

任务提要：

1.从具体的、常见的函数中抽象出幂函数的概念；

2.从代数的角度分析的性质（围绕定义域，值域，单调性和奇偶性等），不要求面面俱到，为作图作铺垫。

3.作出以上5种函数的图象，并抽象幂函数的性质。

4.幂函数的简单应用。

活动1：从等函数中抽象出幂函数的概念。

活动目标：从具体、常见的函数中抽象出幂函数的概念，从具体到抽象，抽象出数学研究对象。

活动2：结合函数解析式，分析函数：的性质，完成如下表格（能填多少填多少，不要求面面俱到）：

活动目标：函数描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，用这一套“数学的话语方式”研究和表达幂函数，为作图提供基础。

活动3：在同一坐标系中作出的图象，结合解析式，指出这些函数有哪些共同特征？

活动目标：由具体到一般，从直观想象和代数运算两个角度研究幂函数，抽象出幂函数的简单性质（定义域、单调性、定点等），体会“类思想”。

拓展活动4：研究函数的图象和性质。

活动目标：以两个幂函数的差（和、积、商）构成的函数为研究对象，尝试用“数学的话语方式”表达具体函数。

第二阶段：指数函数（2课时）

阶段目标：

在幂函数研究的基础上研究指数函数，体会函数研究的一般方法。

任务提要：

1.从真实情境中抽象出指数函数的概念；

2.利用描点法作出具体的指数函数的图象；

3.由具体函数的图象，抽象出指数函数的性质；

4.指数函数（模型）的简单应用。

第1课时：指数函数的概念

活动1：展示真实情境（旅游、放射性元素的半衰期），抽象出指数函数的概念

活动目标：以真实问题为载体，让学生体会指数增长（与线性增长相对照），抽象出指数函数的概念。

活动2：例1的教学

活动目标：通过简单计算，进一步熟悉指数函数，提高学生的数学运算能力。

活动3：例2的教学

活动目标：先呼后应，利用指数函数模型解决提出的问题，体会从真实情境中抽象具体函数，再将具体函数作为模型应用于实践的过程。

活动4：课堂小结

请你谈谈对指数函数的理解，并举出1~2个实例。（如复利、细胞分裂、庄子：“一尺之棰”）

活动目标：通过开放性问题，拓宽学生的思维空间，通过分享，加深对指数函数的理解。

第2课时：指数函数的图象与性质

活动1：请你利用描点法在统一坐标系中作出函数和的图象，并指出两者的关系。

活动目标：利用描点法，让学生体验指数增长，描绘指数函数图象的大致走向，利用列表，揭示两个函数之间的数量关系和函数图象之间的位置关系，渗透数形结合的思想。

活动2：请你在同一坐标系下再做出的图象，你能从这些函数图象中得出哪些结论？并说明理由。

活动目标：在函数和作图的基础上，再做出4个具体的指数函数，鼓励学生提炼函数作图的两大要素：基本（图象形状和具体位置）和变换（利用关系作图）；从多个图象中寻找相互关系，并用代数运算加以证明，渗透数形结合思想。

活动3：请你归纳指数函数的图象和性质，并指出底数a对指数函数图象的影响。（信息技术应用）

活动目标：通过归纳提炼，帮助学生掌握“类思想”。

活动4：例题教学（简单应用）

活动目标：例3：“大小比较”要求学生构造适当的指数函数，具有一定的创新性，帮助学生进一步熟悉指数函数的性质；例4：利用指数函数的图象与性质解决实际问题，建立函数图象与概念、性质的联系。两个例题均有助于形成用函数观点解决问题的意识。

活动5：请你结合指数函数图象与性质的学习，谈谈学习方法上的感受。

活动目标：提炼函数研究的一般方法，凸显数形结合的思想。适时给学生提供学法指导，实现从“学会”走向“会学”。

第三阶段：对数函数（2课时）

阶段目标：

在幂函数、指数函数研究的基础上，采用类比方法，探究对数函数的概念、图象和性质，进一步体会函数研究的一般方法。

任务提要：

1.在指数函数的基础上，抽象出对数函数的概念；

2.通过描点法和函数间的关系，作出对数函数的图象；

3.由具体函数的图象，抽象出对数函数的性质；

4.对数函数（模型）的简单应用。

第1课时（两节联排）：对数函数的概念、对数函数的图象和性质

活动1：由实际问题引入对数函数；从运算的角度引入对数函数（揭示对数函数和指数函数的关系）

活动目标：从真实情境和数学逻辑两个角度抽象出对数函数，为对数函数的作图作铺垫。

活动2：通过描点法和互为反函数之间的关系作出和的图象，并指出两者之间的关系，并从代数运算的角度加以证明。

活动目标：从具体函数入手，通过描点法体会对数函数的变化规律，通过函数图象间的关系角度探究对数函数的大致形状。从图象上发现两者的关系，用代数运算加以证明，体现数形结合的思想。

活动3：在同一坐标系中作出、、、、的图象，从这些函数图象中，你能得出哪些结论？

活动目标：有具体到一般，从定义域、值域、单调性、定点和函数间的关系等角度去得出相应的结论。

活动4：探究a的变化对对数函数图象的影响。

活动目标：借助信息技术，利用geogebra的动态效果，验证学生的猜想，帮助学生掌握“类思想”。

活动5：例3的教学，比较大小。

活动目标：选择适当的函数模型，利用函数的单调性加以比较。提升学生利用模型（对数函数）解决问题的能力。

活动6：实际问题解决

活动目标：先后呼应，问题解决。提高学生利用模型解决问题的能力。

活动7：课堂小结，小组讨论。请你用一句话概括本节课。

活动目标：分享、交流学习心得，提炼概括主旨内容。

第四阶段：小结（2课时）

阶段目标：

1.通过幂函数、指数函数和对数函数增长差异的比较，从整体上把握三类函数；

2.经历函数库的建立过程，通过分享交流，学会分类。

任务提要：

1.设计三类函数增长差异比较的方案；

2.构建有个性化色彩的函数库。

第1课时：不同函数增长的差异

活动1：探究指数函数与一次函数的增长差异，请你设计比较方案。（以和为例）

活动目标：通过列表、图象等方法，帮助学生根据已有知识和思维习惯，学会选择恰当的探究方法。

活动2：探究对数函数与一次函数的差异，请你设计比较方案。（和为例）

活动目标：通过列表、图象等方法，帮助学生根据已有知识和思维习惯，学会选择恰当的探究方法。

活动3：理解“对数增长”“直线增长”“指数增长”的含义。通过信息技术实现。

活动目标：信息技术的使用，加深学生对技术的理解，学会利用信息技术（如软件geogebra）进行探究。

第2课时：以函数图象为载体的综合运用

活动1：完成下列试题，并总结处理此类问题的一般方法。

1.函数的图象大致为（    ）

A   B.

C.   D.

2.

 

 

 

 

 

 

3.在下列A、B、C、D四个图象中，大致为函数的图象的是       ．

 

 

 

 

 

活动目标：以高考常见试题为载体，学会用函数图象和代数运算两个角度研究函数，渗透数形结合思想，提炼研究函数的一般方法。

活动2：请你构建一个适合自己的函数库，并简要说明构建的依据或思路。

活动目标：采用独立思考、小组合作、分享交流的方式展示自己的函数库，发展学生交流能力。

五、学情分析

1.学生已有的认知基础

l 学生已掌握指数幂的运算性质，理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；

l 学生已理解函数的概念和基本性质；

l 能用描点法作出函数的大致图象。

2.达成教学目标所需的认知基础

l 提炼函数作图的基本要素；

l 能从函数图象和代数运算两个角度研究具体函数；

3.“已有基础”与“需要的基础”之间的差异

l 描点法作图是学生常用的作图方法，但对函数作图的基本要素缺乏应有的认识，需要师生合作、交流和分享，提炼出函数作图的基本要素（基本形状+具体位置）

l 函数图象和代数运算是研究函数的两个角度，在探究函数的图象与性质的过程中实现两者之间的自由切换。

4.教学的难点与对策

l 难点：提炼函数作图的基本要素；会从函数图象和代数运算两个角度研究一般函数。

l 突破难点的策略：从快速作图的要求，帮助学生提炼函数作图的要素；引导学生从数和形两个角度研究函数，分别从解析式、列表和函数间的关系等维度切入，形成研究函数的一般方法。

5.几个具体问题的调查分析

l 坐标轴互换导致图形变化，学生是如何思考的？

①旋转（逆时针或顺时针）90⁰；

②描点：（1,2）→（2,1），（a,b）→（b,a）；

③沿直线y=x对折，此时x轴变为水平向右，y轴变为竖直向上。

l 幂函数、指数函数学完后，学生是否形成了研究函数的一般方法调查。

结论：①对“研究函数的一般方法”有了感性认识，但缺乏提炼；

②能用“数学的话语方式”表达幂函数、指数函数；

③对函数的研究侧重于局部，真实情境和具体函数、数与形之间的转换不够灵活。

l 函数作图的现状调查

结论：①从总体而言，学生对函数作图的方法不成系统；

②描点法根深蒂固；

③大多学生能从解析式出发求定义域，即初步有了从数到形思考问题的意识；

④利用函数间关系作图的能力普遍较弱。

六、课堂设计（对数函数）

第1课时（两节联排）：对数函数的概念、对数函数的图象和性质

活动1：由实际问题引入对数函数；从运算的角度引入对数函数（揭示对数函数和指数函数的关系）

活动目标：从真实情境和数学逻辑两个角度抽象出对数函数，为对数函数的作图作铺垫。

活动2.活动内容：用描点法和互为反函数之间的关系作出的图象，你能用几种方式作出的图象？

活动目标：从具体函数入手，通过描点法体会对数函数的变化规律，通过函数图象间的关系角度探究对数函数的大致形状。从图象上发现两者的关系，用代数运算加以证明，体现数形结合的思想。

活动形式：用小组合作学习的形式进行，独立思考——合作交流——自主完善。

活动要求：让每个学生的思维动起来，展示从相对滞后的学生开始。

活动评价：从作图的种类和形式综合评价，根据学生的表现作定性评价。

活动3：在同一坐标系中作出、、、、、、的图象，从这些函数图象中，你能得出哪些结论？

活动目标：有具体到一般，在开放的环境中让学生发现关系，提高归纳能力和分类能力。

活动4：探究a的变化对对数函数图象的影响。

活动目标：借助信息技术，利用geogebra的动态效果，验证学生的猜想，帮助学生掌握“类思想”。

活动5：从以上结论中选出你认为最能体现对数函数本质的性质，并列成一张表格。

活动目标：学生构建各自的对数函数的性质结构，给不同的学生提供不同的知识结构，将教材中对数函数的性质作为一个参考点。同时也为学生归纳函数性质给出一个基本思考框架：定义域、值域、定点、单调性、奇偶性等。

活动6：例3的教学，比较大小。

活动目标：选择适当的函数模型，利用函数的单调性加以比较。提升学生利用模型（对数函数）解决问题的能力。

活动7：实际问题解决。

活动目标：先后呼应，问题解决。提高学生利用模型解决问题的能力。

活动8：课堂小结，小组讨论。请你用一句话概括本节课。

活动目标：分享、交流学习心得，提炼概括主旨内容。提升学生的数学抽象能力。

七、课后反思

1.两节课联排很必要，其中有两个理由：⑴对数函数概念的形成可以为对数函数的作图作应有的铺垫；⑵为对数函数图象与性质的展开提供充足的时间保障。

2.单元整体教学有利于学生知识的结构化，为从专家结论走向专家思维提供了可能。

3.学生小组合作学习尚处于初级阶段。

4.细节处理有待加强。