【摘要】化归思想是数学中重要的思想方法之一, 它在帮助学生解决实际问题的同时, 也提高了学生的数学素养, 锻炼学生的综合能力, 它在中学数学中占有重要的地位, 是中学数学的基本思想方法. 本文着重讨论化归思想在中学数学解题中的运用原则。

关键词 ：化归思想; 中学数学; 解题策略

 

“化归思想”是近代数学中一种比较重要的思想, 和其他科学的思想一样, 都是因社会需要而产生, 都是社会实践的产物. 随着课程不断的改革, 新课标明确指出, 学生不仅要能够得到必要的专业知识, 还要能够获得基本的数学思想和必要的应用技能. 因此“化归思想”在中学数学中占据了越来越重要的位置, 在代数, 几何, 函数, 数列等方面都有重要的影响, 因此学习“化归思想”对于想要学好数学的同学们来说十分必要. 此外, 化归思想在我们的生活中也有着广泛的应用, 被用来解决许多实际问题, 为我们的生活提供便利.

为了更好地把握住化归方向, 总结出化归思想的运用原则, 我们必须先认识化归的特点. 第一化归具有多向性, 在化归过程中, 既可以变换问题的条件, 也可以变换问题的结论;既可以变动问题的内部构造, 又可以变动问题的外部形式. 第二化归具有层次性, 化归思想既能够应用于联系数学各分支学科, 实现学科之间的转化, 又能变换各类策略与技术, 解决多种具体问题. 第三化归具有重复性, 解决问题的过程中可以多次地使用化归, 使问题逐渐达到模式化, 规范化. 在了解了化归的特点 多向性, 层次性, 重复性的基础上, 我们可以得出一些在化归中需要遵照的基本原则.

一、直观化原则

所谓直观化原则便是将模糊的, 抽象的原问题转化为清楚的, 直观的新问题, 新问题具体形象, 便于解答.

例１ 设集合, 都是全集的子集. 已知, , , 求.

分析

 

 

 

 

用图讨论集合的关系, 具有化抽象为具体的功能.

如图所示, 用方框代表全集, 用两条封闭的曲线分别代表集合与集合. 因为, 所以在之外之内填1.因为, 所以在, 的公共部分上填, 因为, 所以在与之外的方框内填, 又因为全集, 所以在之内之外填4. 因此, 从图上可知, 从而.

    二、简单化原则

所谓简单化原则便是将复杂的数学问题简单化, 梳理问题中复杂的关系, 形式, 转化为简单的关系, 形式, 开拓新思路解决数学问题.

例2 已知集合,, 若,求实数的取值范围.

分析 正向思维是, 解决起来比较复杂, 可以改用逆向思维, 将,转化为,先解决, 得出的范围后取补集, 这就是将复杂的数学问题化归为简单的简单的问题.

解 因为, ,

所以要求, 必须为.

若,则方程无解,

,

解得;

若方程的两根, 均非负,

　　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以时, 实数的取值范围为,

取补集为.

所以实数的取值范围为.

三、熟悉化原则

所谓熟悉化原则便是把题目中生疏的形式和内容转化为熟悉的形式和内容, 从而把原本陌生的题目转化自己熟悉的题目. 我们所学的知识前后都是贯通的, 许多题目都可以利用不同的知识一题多解, 所以掌握熟悉化原则将对解题起到很大的作用.

例3  已知, , 且, 则的最小值为多少

分析 题目中的形式比较陌生, 不太容易直接求出最小值, 运用熟悉化原则化陌生为熟悉就简单的多. 运用换元法, 令, （）, 则将问题转变为, 求的最小值.

解 令, （）,

则, 又　

＝，

　　　　而=

　　　　　              

　　　　　              ,

　　　　即,

　　　　当且仅当, 是取等号,

　　　　故最小值为. 　　　

　　　　　　　　　

四、和谐化原则

所谓和谐化原则便是在解题过程中, 能够凭借数学问题的条件, 问题或结论以及数，式，形等的结构特征, 从和谐美的角度去考虑问题, 转化命题, 使其表现形式更符合和谐统一的形式, 数学方更法符合人们的思维规律, 得到解题信息, 从而确定解题的大体思路, 以起到以美起真的作用^[3].

例4  在中, 若, 试判断的形状.

分析 题目中等式两端既有边又有角, 要想等式两段和谐统一, 运用正弦定理或余弦定理实现边角互化, 转化为边边关系, 转化为内角的三角函数间的关系, 通过恒等变形, 得出三角形内角的关系, 从而判断出三角形的形状.

解 

利用正弦定理可得

因为,所以

,

因而                    ,

因此,所以就有

因为,

所以,

因此为直角三角形.

 

 

五、标准化原则

所谓标准化原则便是在形式上将待解决的问题向该类问题建立起来的数学模式即标准形式转化, 归结为简单的数学问题.

例5 已知实数, 满足方程.

(1)求的最大值和最小值;

(2)求的最大值和最小值.

　　分析 题目中的方程式是二元二次方程式, 满足圆的一般方程, 解析几何中有关曲线方程的问题大都应该将其转化为标准方程去研究, 所以遇到此类题目首先转化为圆的标准方程.

(1)可看做是直线在轴上的截距, 当直线与圆相切时, 纵截距取得最大值或最小值.

(2)可表示为圆上的一点与原点距离的平方, 有平面几何知识可知, 过原点和圆心的直线与圆有两个交点, 在这两个交点处取得最值.

　　解 方程为化为圆的标准方程为.

　　(1)设直线（）,

则为直线在轴上的截距,

如图2-5(1)当直线与圆相切时,

 纵截距取得最大值或最小值;

已知圆心到相切直线的距离为,

所以,

解得,

所以的最大值为, 最小值为.

 

 

(2) 表示为圆上的一点与原点距离的平方,

如图2-5(2)

由图可知 过原点和圆心的直线与圆有两个交点,

在这两个交点处取得最值.

因为圆心到原点的距离为,

所以的最大值是,

的最小值是.

 

 

    为了有效地进行化归, 在中学数学中我们常见的化归原则有直观化原则, 简单化原则, 熟悉化原则, 和谐化原则, 标准化原则, 虽然它们形式多种多样, 可以变换问题的条件与结论, 可以变换问题的内部构造与外部形式, 可以从代数的角度去了解问题或利用几何去解决问题, 但是目标是一致的, 便是将问题变的简单 熟悉, 达到解决问题的有利境地, 开启问题解决的大门. 想要解决好数学问题就要遵循一定的化归原则.