K-W-L教学模式应用于圆锥曲线的实例研究
摘要：本文将美国学者 Donna Ogle提出 的K- W- L教学模式应用于高中数学圆锥曲线的教学。并以“椭圆及其标准方程”一节为例，分析K-W-L教学模式下实施教学的过程。最后对实施K-W-L教学模式的优势、不足及需要注意的问题进行了总结。
关键词： K-W-L教学模式    实例研究    研究结论


一、K-W-L教学模式简介
“K-W-L”教学模式是美国学者Donna Ogle于1986年提出的教学模式。该模式借鉴先进的教学模式发展理论，是通过对学习者多途径的视觉刺激，在学习者已有知识的基础上，对新知识进行探索及构建的一种学习模式。
“K-W-L”教学模式往往需借助于学生与学生、教师与学生间的集体讨论。该模式包含K (What I know) 即我已经知道了什么, W (What I want to know) 即我想知道什么, L (What I learnt)即我学到了什么三个方面的内容，该模式的施行是一个循序渐进的顺序过程。“K-W-L”教学模式以“K-W-L”表格（包括学生学习表格和教师教学表格）为载体，以小组讨论为形式。K-W-L教学模式被Donna Ogle率先尝试运用于科学课程的教学，因其教法新颖，学生参与度高，师生互动性强，课堂气氛活泼等优点引起教育界关注。
二、实例呈现
下面以苏教版高二选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中第二节第一课时《椭圆及其标准方程》为例进行K-W-L课堂教学模式的实验。
1 教材地位分析
在本章中椭圆是三大圆锥曲线之首，主要从椭圆的定义来研究其方程再到几何性质的运用。椭圆的研究方法继承了直线和圆方程的研究方法即解析几何的一般思想方法，这对后续研究双曲线和抛物线都有启发。所以本节课学生的理解程度将直接影响了他们对解析几何思想与方法的领悟。《高中数学课程标准》指出在学生学习圆锥曲线与方程时要体现圆锥曲线的几何与代数意义的完美结合，让学生领悟圆锥曲线的生成，并能用建系的代数方法解决实际问题。从教材体系来看，本节是对必修2中直线与圆方程的延续，因而具备“统前”作用；同时对椭圆及其标准方程的研究又为双曲线和抛物线的研究提供了一般性的方法，因而有兼有“启后”功能。
2 教学目标
（1）知识与技能
①在学生理解椭圆定义的基础上，要求学生掌握椭圆标准方程的推导
②由已知条件求椭圆的标准方程
③ 能根据标准方程判断焦点位置
（2）过程与方法
①由椭圆定义的引入，引导学生用建直角坐标系的方法，培养他们代数方法解决几何问题的意识
②通过对椭圆概念问题的解决，使学生体会知识的发生与发展的过程
（3）情感态度与价值观
①在已有知识经验（直线、圆的方程及其求法）的基础上，进一步感受曲线方程的概念，了解和感受事物间的普遍联系，感悟数学思想的力量
②由椭圆方程的推导，培养学生不断拓展知识视野与克服困难的勇气与信心
3 教学重点和难点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
难点：椭圆的标准方程的推导．
4 学情分析
本节课授课对象是全校基础较好的理科班学生，前面学生已学过直线和圆的方程，对解析几何的基本思想和一般处理方法已有了解，但对解析几何知识与方法的运用能力不强，尤其是对具体过程中方程式的化简存在较大困难。
5 教学设计
通过借鉴学生学习圆的定义和对标准方程的推导过程，将研究解析几何问题的基本思路与方法迁移至椭圆标准方程的推导上，利用K-W-L教学模式将教与学的过程分为相互联系的三个阶段。
表1 《椭圆及其标准方程》K-W-L教学表格的设计
思维激活（K） 预设生成（W） 反思总结（L）
问题1:在必修2解析几何的学习过程中，我们学习了哪此内容? 问题2:本节课大家学习“椭圆的标准方程”可从哪些方面入手？ 问题3:这节课我们学到了什么?
问题1-1:直线和圆方程是如何推导的?
问题1-2:椭圆的定义是什么?
问题1-3：求曲线方程的方法与步骤有哪此?
问题1-4:建系的方法与原则有哪些？
问题1-5:求曲线方程时，我们的注意点是什么? 问题2-1:怎样由椭圆定义求其方程?
问题2-2 ：求椭圆方程的过程是什么?要注意什么？
问题2-3: 直角坐标系中焦点位置变化时对方程的影响?
问题2-4: 怎样由椭圆的方程定焦点位置？ 问题3-1:这节课我学到哪些知识?
问题3-2:这节课我学到哪此方法?
问题3-3;研究解析几何的一般思路是什么?
问题3-4:我可以解决哪此问题?
6 教学过程
（1） K-Step ( What I Know)
教师给出学习课题“椭圆及其标准方程”后，教师给出问题单:
问题1:在必修2解析几何的学习过程中，我们学习了哪此内容?
教师以一个范围较大，入口较宽的问题引发学生的自主思考，让学生对大脑中知识经验进行搜索，整理解析几何的一般研究方法。
学生先个人思考再以小组学习形式开展讨论与回顾，对教师所给下列问题进一步思考。
问题1-1:直线和圆方程是如何推导的?
问题1-2:椭圆的定义是什么?
问题1-3：求曲线方程的方法与步骤有哪此?
问题1-4:建系的方法与原则有哪些？
问题1-5:求曲线方程时，我们的注意点是什么?
设计说明：学生的基础有差异，研究问题的能力层次也不尽相同，因此教师问题单的给出帮助学生的思维不偏离正常的教学内容。“问题是思维的发动机”，有了总的纲领和细化的问题单，学生的思维活动将更为有效，合作学习的目的性将更强。学生通过对问题研究的揭示得到求曲线方程的方法与步骤——建系、设点、列式、化简、验证，为下面椭圆方程的研究提供了思路。学生在讨论与相互的启发中认识自身知识缺陷，在积极向上的氛围中完善知识体系和内容的构建。
教师：若我们思考“到两定点距离之和等于定值的点的轨迹”，则该动点的轨迹会是什么形状呢？教师可利用实现准备好的一根定长的细绳，将细绳的两端用图钉钉于一块小黑板上的 和 两点(如图1)，当绳长大于 和 之间的距离时，用粉笔尖将绳子拉紧，此时一个椭圆就可以呈现在黑板上了．

图1 椭圆形成的演示图
教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？”有的同学说：“油罐车．”有的同学说：“人造卫星运行轨道”等……
此时可要求学生探索总结出椭圆定义：（省略）
面对定义提供的主要信息，学生只会关注主要几何特征——到两定点 和 的距离之和等于常数。这对椭圆的理解是不全面的，教师应提醒学生两点:
1) 若没有限制条件“在平面内”，粉笔在空间将形成椭球体，而非椭圆。即椭圆是个平面概念。
2) 这里的常数有什么限制吗？教师引导学生先演示，教师再予以补充和说明：若常数 ，则是线段 ；若常数 ，则轨迹不存在；只有在椭圆出现时：“此常数大于 )”．
（2） W-Step (What I Want to Know)
    问题2:本节课我们学习“椭圆的标准方程”可从哪些方面入手？
    在学习小组成员的自我思考与交流讨论中，每个小组的代表形成本组问题单，教师根据每个小组的问题，汇总共同问题和本节重点并投影形成课堂学习清单。
问题2-1:怎样由椭圆定义求其方程?
设计说明：学生通过K-Step已知圆方程的建立是基于圆的定义，它为W-Step思维的启动提供依据，使学生利用类比思维的原理开始思考如何由椭圆定义得到椭圆方程。发展学生的思维能力是数学新课程的核心思想，学生通过最近发展区的认识主动构建探究思路。
问题2-2 ：求椭圆方程的过程是什么?要注意什么？
学生讨论，给出意见。
学生1：建系设点
教师:坐标系的建立要注意什么？
学生2: 要充分注意图形在坐标系中的对称性，同时将条件多的点或线尽量放在坐标轴上，以利于化简和运算。
可以两定点 所在的直线为x轴，线段 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(如图2)．设 ，M(x，y)为椭圆上任意一点，则有

图2  直角坐标系下的椭圆
教师：如何将定义向关系式转化呢？
学生3：由定义不难得出椭圆集合:
将 代入集合
得到代数方程  
教师：这个方程式挺复杂，将之作为椭圆方程不尽合理
学生4：化简方程
说明：对该方程式的化简是本节课的难点，教师可提醒学生先预习，然后请一名基础较好，反应较为灵活的学生上黑板扮演，其余同学在座位上化简，适当时教师可予以提示。
初中对两个根式问题我们学过要移项并平方；而且需要进行两次平方．整理后
教师提醒：为使式子对称可引入参数b,
于是得 ，两边同除以 ，得 。
这就是焦点在x 轴上的椭圆的标准方程，其中椭圆焦点 且 。对化简所得椭圆标准方程的验证，因大纲不做要求，顾我们不做探讨。
问题2-3: 直角坐标系中椭圆焦点位置变化时对其方程的影响?
学生5：若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为 ，它表示焦点在y轴的标准方程，其中椭圆焦点 且 。
教师：这种情况如何得来？
学生6：只需将焦点在 x 轴上椭圆方程中的x,y互换即可。
问题2-4:怎样由椭圆的方程定焦点位置？
学生小组讨论交流发表自己的见解并接受其他同学的验证。
学生7：椭圆标准方程中 谁对应分母值较大，焦点就在那个轴上。
教师对学生的讨论与回答予以总结，对正确结果给予肯定。学生获得成功的满足感！
在学习了椭圆的两种标准方程之后对所学知识进行巩固运用。
例1 已知一个贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m，外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m，求这个椭圆的标准方程。
说明：如何理论都来源于实践又反作用于实践，通过对实际模型的处理让学生感受数学来源于生活，体会生活中的数学美。同时例1是为了巩固对椭圆标准方程的理解。利用学生熟悉的实际模型，体会圆锥曲线应用的广泛性。
例2  将圆 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线。
说明：从直观上看，椭圆可以由圆压缩而得，该例题从方程角度给出了证明，进而从理论角度给出了严格的论证。这种曲线间的类比推理探索，为我们判断曲线类型提供了行之有效的方法：即有方程的代数式判断几何图形。这里代数证明过程所用的方法为“相关点坐标回代法”，此处学生首次接触该思想方法，教师教学中要考虑学生接受新事物有一个过程的事实，要说明清楚“如何由图形想到这么做的？”“这一招还可以用在哪些方面？”让学生逐渐接受转化与划归的数学思想方法。即通常是复杂向容易，未知向已知的转化。
学生通过以上两个例子的分析，不仅加深了对椭圆标准方程的认识，还从联系的观点与实用的角度锤炼了自己解决问题的能力，提升了思维高度与理解深度，培养了对数学的学习兴趣。
(3)  L-Step ( What  I  Learnt)
问题3:这节课我们学到了什么?
问题3-1:这节课我学到哪些知识?
学生总结椭圆定义并填写下表（教师将学生填写内容进行实物投影并点评）



表2  椭圆的标准方程知识点
焦点位置
焦点在 x轴 焦点在y轴
标准方程
图形






问题3-2:这节课我学到哪此处理问题的方法?
问题3-3;研究解析几何的一般思路是什么?
问题3-4:我可以解决哪此问题?
（以上三个问题学生回答略）教师任选一学生的K-W-L表格填写内容进行投影
表3  《椭圆及其标准方程》K-W-L学生学习表格

已知（K） 想知（W） 学知（L）
1：解几中学过直线和圆，利用建系思想，结合他们的定义求方程
2：油罐车的横截面是椭圆
3：如果已知定义应该可以建系求椭圆方程
4：用研究圆的方法可以分析椭圆图形与方程间的对应关系甚至是椭圆的性质 1: 椭圆的定义是什么？
2：如何由定义求其方程？是否像直线和圆一样求方程较简单，是否像圆方程一样有两种等价方程形式？
3：椭圆对称性较强，但焦点位置的改变是否对方程产生较大影响？
4：能否由椭圆方程确定椭圆在直角坐标系中的位置？
5：椭圆方程中系数对椭圆形状产生怎样的影响？ 1：知道了椭圆的定义
2：学会了用建直角坐标系的方法求椭圆方程
3:建系时要注意对称性原则，否则较难化解
4：求椭圆方程先定性（焦点位置），再定量（求 ）
5：研究解析几何一般都是将图形置于直角坐标系中，用代数的方法研究几何问题
6:问题是如何由 定椭圆形状大小？
由表3可以看出该学生已开始探究椭圆方程中 的大小对椭圆几何性质的作用，这是下节课需要研究的内容，教师对学生的这种类比与迁移性探究问题要予以充分肯定，同时借助这个问题引导学生预习下一节内容，通过对该学生及其所在小组的表扬激发全班学生的求知欲和自我表现欲，形成充满自信、合作与竞争的学习氛围。
课堂检测：选修2-1 P32/1, 2, 3, 4, 5
课后作业：自编巩固练习
设计说明：K-W-L教学模式实施效果的一个重要体现在于最后学生在L-Step的自我总结与交流，通过这一步骤学生反思自己的学习方法，总结自己课堂的收获，展示自己的学习成果，对比自己在认识能力和思维水平上与其它同学的优势与劣势，从而更客观的认识自己。
L-Step中教师对学生的交流要充分肯定，尤其要注意学生自身的水平差异性，对学生的评价更要侧重于情感上的交流。
三、教后反思
通过对K-W-L课堂教学模式的实践，笔者对K-W-L课堂教学模式有了更深的理解。根据近一学期实践教学，笔者得出如下结论
（一） K-W-L课堂教学模式有如下优势
1、确立了学生的主体性地位，符合新课改的精神与理念
2、以问题为中心的模式特点极大的提升了学生的探究能力
3、实现了知识的自然生成，学生对知识的理解与掌握更高效
4、促进了学生合作意识的增强，学生交流沟通能力得到发展
5、促进了学生学业成绩的显著提高
6、促进了教师理论素养的提升与实践经验的总结与发展。
（二）反思不足之处
1、由于小组讨论的形式贯穿其中，教师须对各组的信息进行提炼，若班级人数多，小组的信息提炼难度就较大，较费时。因此K-W-L教学模式更适应于小班化教学。对目前高中课堂实施的大班制有一定局限性。
2、K-W-L教学模式并不是适合于高中数学的所有课型。K-W-L教学模式对新授课与单元复习课效果较好，但对习题课有着很大的局限性。除非是范围较窄、局限性较强的试卷，题与题之间联系度较强尚可；否则将难以实现过程中的自然衔接。
3、教师在课堂授课时间的减少，学生自主学习时间的增加，讨论机会频繁使得原本基础较好、学习能力较强的学生如鱼得水；而学习能力较差，自觉性不高的学生在课堂上浪费很多交流时间，失去较多的提升机会。这些使得班级学生的两级分化现象较为严重。这对教师如何加强过程干预和监控提出了更高的要求。
4、对教师的教学能力和经验有较高要求。K-W-L教学模式中三个步骤间的关系如何自然衔接，不同课型每个环节的设置，对学生学习小组中讨论时间的把控，都要求教师对理论理解与经验生成二者缺一不可。
（三）需注意的问题
1、师生间需构建和谐、信任的关系
2、教师的导向作用要恰到好处
3、教师导向问题的设置要精心准备
4、学生对K-W-L教学模式的适应会有一个过程
不少学生都是长期接受传统教学模式的，因此在思想观念和行为实践上对该模式的理解与接受将有一个过程。教师不能心急气躁，要允许和包容学生犯错，遵照循序渐进的原则，在实施过程中对适应能力较差的学生要多给予关心和指导，不能让任何一位学生因为对该课堂教学模式的不适应而影响K-W-L教学模式的顺利实施。



参考文献
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