深度复习：变中觅恒，学习进阶

【摘要】复习课是高三数学课堂教学中的主体课型，如何根据本班学生的原有知识水平和思维特点，采用恰当的和行之有效的复习方式，来提高课堂复习效率，是我们一直都在思考和探索的。通过变式教学唤起他们的求知欲，产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣，训练发散性思维，达到深度学习的目的。

【关键词】课堂变式教学、向量数量积、不等式求最值、函数的零点等

复习课是高三数学课堂教学中的主体课型。进入高三阶段总复习后，由于数学学科知识综合性增强，对运算能力、综合解题能力以及应用能力要求都有大幅度提升。如何根据本班学生的原有知识水平和思维特点，采用恰当的和行之有效的复习方式，来提高课堂复习效率，是我们一直都在思考和探索的。《庄子.秋水》中有云‘物之生也，若骤若驰，无动而不变，无时而不移’。在课堂教学中，教师要改变传统方式，变“带着知识走向学生”为“带着学生走向知识”。 变式教学是运用不同的知识和方法，对有关数学概念、定理、习题等进行不同角度、不同层次、不同背景的变化，有意识的引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。课堂教学效果很大程度上决定于学生的参与情况，这就首先要求学生要有参与的意识，通过变化让学生掌握变化中的不变，能从不同方面、不同角度和不同情况来说明某一事物，从而概括出事物的一般属性。在变式中掌握一类问题的解法，达到事半功倍的效果。

一、变式难度要由浅入深，循序渐进，符合学生的认知规律

 变式之间的难易程度要由浅入深，逐步提高思维含量，引导学生的思维步步深入. 退到最简单问题，归纳此类问题的求解方法，进而逐步由变式将问题自然过渡到综合题.

例如：在一轮专题复习‘基本不等式的应用’这课，主要对若，则（当且仅当时取“=”）及其相关变形形式的应用，着重要强调的是定理使用的条件：“一正二定三相等”。可设置如下的变式教学：

原题：求下列函数的值域

（1）y＝3x ²＋2x 2(1)      （2）y＝x＋x(1)

第（2）题在求解过程中，学生对条件x是负数往往忽视

【变式训练一】已知，求函数的最大值

因，所以首先要“调整”符号，又不是常数，所以对要进行拆、凑项，

【变式训练二】求的值域

本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）

【变式训练三】 求函数(x>-1 ，a>0)的最小值

【变式训练四】求函数的值域。

令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

【能力提升】已知函数.若实数使得有实根，则的最小值为        

【分析】题目给定的是关于变量x的分式方程,就提论题地去做,无异于打一场耗时费力的攻坚战,希望渺茫.但若将方程中的辅助变量a,b“反客为主”,则在我们面前很快展现出一方可以自由驰骋的新天地.

解：将改写为：.

令

在直角坐标系aOb中，设为直线（1）上一点，则.

又设原点到直线（1）的距离为，那么

若想在此处利用基本不等式，会发现等号不成立。所以在此换元以后利用“对钩”函数图象或求导可解决这个问题：

令上增，则

.也就是的最小值为。

学生在使用均值不等式求最值时，很容易忘记定理使用的条件“一正二定三相等”。因此在教学中由简单习题出发，将原题中一般条件，改为具有特定性的条件，设计出四个变式练习的解答，使学生加深了对定理成立条件的理解与掌握，为定理的正确使用打下了较坚实的基础。

二、变式题目要有针对性，目标明确

变式的设计要围绕教学的重点、难点展开，要针对学习过程中学生存在的问题设计变式题。 通过变式串中一系列问题的解决，帮助学生强化知识重点、弥补知识弱点和盲点，提高学生的解题能力.

如在专题复习课‘向量的数量积’中讲述有关通过建系来处理数量积这一方法时，可设置如下原题与变式练习：

原题：如图：在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=1,点M、N分别是AC、BC的中点，点P是三角形ABC内任意一点，则的取值范围是           

让学生先进行思考，然后根据条件分析：由于点是区域内的一动点，直接用数量的定义积或进行转换都有一定的困难，又注意到三角形ABC为等腰直角三角形，所以考虑以B为坐标原点，AB为X轴建立平面直角坐标系用坐标运算来处理该向量数量积。根据各点的坐标可得：   通过设计如下三个变式练习，逐渐由等腰直角三角形这一模型向直角梯形以及菱形这些个模型转变。让学生脱离就题论题的模式，在具体问题的解题过程中，真正掌握用建系法来求向量的数量积或有关涉及动点的数量积的范围问题。

【变式一】如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，=λ，=（1﹣λ），则•的取值范围是　_____

【变式二】如图，边长为l的菱形ABCD中，∠DAB=60°，，则=　

              

【变式三】如图，已知：|AC|=|BC|=4，∠ACB=90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则•的最大值是　。

我们知道，要运用一个知识去解决问题，就必须找出这个知识和要解决的问题之间的内在联系，这就离不开细致的观察和广泛的联想。上题中的变式三，由AC垂直BC联想到了建系这个方法。当然换个角度去想，M为BC中点且AD垂直DC，所以还可以通过适当的转化，将数量积最终化为和DC的模有关的函数求最值。

【能力训练】（2014江苏高考第12题）

如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是        .

【思路点拨】向量是高中阶段数与形结合的完美典范，引导学生从代数和几何两个角度审视和考查向量问题，数一般指向量的坐标法，形一般指向量的基底法.该题既可用坐标法，也可用基底转化法进行处理，这题还可取AB的中点，连接P与中点并延长，交AD延长线于一点，利用中位线，适当进行转化后求得。

 

在课堂教学过程中，还可以由这题引发学生的讨论，鼓励一题多解，拓展学生的数学思维。通过对其它几种解法：转化法，定义法，和几何法的探讨，从而达到让学生更好的掌握向量数量积的解法这一目的。

三、变式题之间的过渡要保证思维的连贯和流畅

正所谓‘木之长者必固其根本，欲流之远者必浚其泉源思’，只有从夯实基础出发，在教学过程中，通过利用变式教学深化基础知识，拓展学生的数学思维，引导学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，才能更深入、更透彻地理解问题的本质。在引导学生思维深入的同时，要力求变式题设计时，教师要把握住一个‘度’，变式之间的过渡要自然，避免生搬硬套的“拼凑”，要保证学生思维的连贯和流畅 ，达到最佳的课堂教学效果。

如：考前专题辅导课：以函数与方程相综合为背景的填空题：本类压轴题常以超越方程、分段函数、抽象函数等为载体，达到考查函数性质、函数零点的个数、参数的范围等目的。考查解决本类压轴题常用的方法是数形结合，或利用函数的单调性等。可在教学过程中设计如下例题和变式：

原题1：已知0<a<1，方程的实根个数是  

分析：由图象变换分别作出和的图象，由图可知，有两个交点，所以该方程有两个实数解。

【变式一】已知:关于x的方程有唯一实数解，求a的取值范围。

分析：由已知，二次函数与一次函数的图象在x轴上方，且只有一个交点，其中的图象它与x轴有两个交点(-a,0)和(0,0)，的图象与x轴交于，则由图可知：或 可解得.

【变式二】已知函数，的零点，其中常数，满足，，则的值是 －l  。

【解析】∵，，∴，，，故是上的增函数，且，则，∴.

原题2: 定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为

根据奇偶性，和函数图像特征可求得f(x)=a的所有零点和为

【变式一】已知函数满足，当时，，若在区间上方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是   

【分析】：方程有两个不同的根有两个不同

的根与函数的图象有两个不同的交点，在同一坐标系内作出与的图象，由图象可知，当两个函数图象有两个不同公共点时，的取值范围为。

【变式二】已知函数，若关于的方程恰有个不同的实数解，则的取值范围是   

【分析】设t＝f(x)，则方程为t²－at＝0，解得t＝0或t＝a，即f(x)＝0或f(x)＝a．如图，作出函数f(x)的图象，由函数图象，可知f(x)＝0的解有两个，故要使方程f²(x)－af(x)＝0恰有5个不同的解，则方程f(x)＝a的解必有三个，此时0<a<1．所以a的取值范围是(0,1)．

教学时还可继续将此问题改为：方程有三个实数解和四个实数解等不同情况。

原题2这类函数的零点问题，其题型主要是围绕（1）函数f(x)的形式：分段函数或周期、类周期函数带有奇偶性等（2）方程的形式：f(x)=g(x)或或f(g(x))=0等等展开变化。两个变式题的目的也正是为了让学生更好的掌握这两种常见的类型而设置。

总之, 数学变式教学，要明确目的，遵循由浅入深，由易入难的原则，逐步提高思维含量。要突出重点，以点带面，在教学的过程中要针对实际，因材施教。合理的变式教学能提高课堂的教学效果，教学实践证明，变式教学有助于学生对数学知识的巩固，有助于培养学生分析、归纳、解决问题的能力，充分调动学生的主观能动性，使多向性、多层次的交互作用引进数学教学过程，使学生能举一反三，真正从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。

 

 

参考文献

[1]刘晟，刘恩山．学习进阶：关注学生认知发展和生活经验[J]．教育学报，2012，(02)：81-87．

[1]章建跃.理解数学是教好数学的前提[J].数学通报，2015(1):61-63.